[논문 리뷰] Backstepping Transformation of Input Delay Nonlinear Systems

Delphine Bresch‐Pietri, Miroslav Krstić|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 23.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 입력 지연이 알려져 있지 않은 비선형 시스템을 위한 백스테핑 변환을 제안하며, 운반 PDE를 사용하여 시스템 역학을 재구성함으로써 리아푸노프 안정성 분석을 가능하게 한다. 이 방법은 지연 추정 기반 예측 제어 법칙을 활용하며, 분포형 입력을 추정하여 지연 불확실성에도 불구하고 전역 지수 안정성을 달성한다. 새로운 변환을 통해 지연 영향을 분리하고 강건한 제어 설계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present here the details of a backstepping transformation aiming at reformulating the dynamics of a nonlinear systems subject to unknown long input delay in a form which is suitable for Lyapunov stability analysis. The control law underlying this transformation is predictor-based, as often considered for long delays. The proposed transformation follows recent results of the literature, based on the representation of the constant actuator delay as a transport Partial Differential Equation (PDE).

연구 동기 및 목표

• 알려져 있지 않은 장기적인 입력 지연을 가진 비선형 시스템을 리아푸노프 기반 방법으로 안정화하는 데 도전하는 것.
• 지연된 시스템을 안정성 분석에 적합한 형태로 재구성할 수 있는 체계적인 백스테핑 변환을 개발하는 것.
• 분포형 액추에이터 상태가 측정되지 않을 경우를 다루기 위해 지연 추정 기반 예측 제어 법칙을 도입하는 것.
• 입력 지연에 대한 불확실성 하에서 폐루프 시스템의 전역 지수 안정성을 보장하는 것.
• 확실성 등가 원칙을 사용하여 예측 기반 제어를 비선형 시스템에 확장하고, 지연 매개변수의 불확실성을 고려하는 것.

제안 방법

• 입력 지연은 알려져 있지 않은 대류 속도를 가진 운반 PDE로 모델링되며, 지연된 입력은 [0,1] 영역에서 분포형 시스템으로 표현된다.
• 시간으로 미분 가능한 지연 추정치를 사용하여 분포형 입력 추정치를 구성함으로써 실시간 적응이 가능해진다.
• 추정된 입력에 대해 백스테핑 변환을 적용하여 새로운 변수 $ \hat{w}(x,t) = \hat{u}(x,t) - \kappa(\hat{p}(x,t)) $ 를 정의한다. 여기서 $ \hat{p} $ 는 상태의 예측 추정치이다.
• 제어 법칙은 액추에이터 끝에서의 추정 상태를 사용하여 $ U(t) = \kappa(\hat{p}(1,t)) $ 로 설계된다.
• 이 변환은 $ X(t) $, $ \hat{w}(x,t) $, 그리고 추정 오차 $ \tilde{u}(x,t) $ 의 역학이 알려진 구조를 가진 PDE를 통해 결합된 목표 시스템을 유도한다.
• 안정성 분석은 상태, 변환된 입력, 그리고 추정 오차를 고려하는 리아푸노프 함수를 구성함에 기반하며, 시스템의 PDE 역학에서 유도된 시간 도함수 항을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알려져 있지 않은 입력 지연을 가진 비선형 시스템에 대해 리아푸노프 안정성 분석을 가능하게 하는 백스테핑 변환을 구성할 수 있는가?
• RQ2 지연 불확실성 하에서 측정되지 않는 분포형 입력을 어떻게 추정하고 예측 기반 제어 법칙에 활용할 수 있는가?
• RQ3 지연된 비선형 역학에 백스테핑 변환을 적용한 후의 변환된 시스템의 구조는 어떠한가?
• RQ4 지연 및 입력의 추정 오차는 폐루프 시스템의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 입력 지연과 측정되지 않는 분포형 상태에 대한 불확실성에도 불구하고 전역 지수 안정성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 백스테핑 변환은 원래의 지연된 비선형 시스템을 리아푸노프 분석에 적합한 알려진 구조를 가진 목표 시스템으로 성공적으로 변환한다.
• 제어 법칙 $ U(t) = \kappa(\hat{p}(1,t)) $ 는 상태의 예측 추정치를 기반으로 하며, 주어진 가정 하에서 전역 지수 안정성을 보장한다.
• $ \hat{w}(x,t) $ 와 $ \tilde{u}(x,t) $ 의 변환된 시스템 역학은 지연 추정치 $ \hat{D}(t) $, 그 도함수, 그리고 시스템의 비선형성에 따라 결정되는 계수를 가진 PDE로 제어된다.
• 추정 오차 $ \tilde{u}(x,t) $ 는 유계이며 제어 법칙 하에서 감쇠됨이 입증되었으며, 그 역학은 $ f_{\tilde{u}}(t) $, $ f_{dp}(t) $, 및 $ f_{du}(t) $ 로 명시적으로 유도되었다.
• 지연 추정치가 충분히 매끄럽고, 명시적 시스템이 지수 안정화 가능할 조건 하에서 리아푸노프 함수의 시간 도함수가 음의 정부호임이 입증되어 전역 지수 안정성이 증명된다.
• 지연이 불확실하더라도 방법은 강건하며, 안정성 증명이 $ D \in [\underline{D}, \overline{D}] $ 에 대해 성립하며, $ \underline{D} > 0 $ 이다.