[논문 리뷰] Backward bifurcation in SIRS malaria model

Miliyon Tilahun|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 04.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 연구는 점차 잃어가는 면역을 고려한 SIRS 말라리아 전파 모델을 개발하여, 기본 전파 수치 $R_0 < 1$ 일지라도 질병 없음 평형이 안정적인 말라리아 유병 평형과 공존하는 역행 분기 현상이 발생함을 보여준다. 주요 발견은 말라리아 유도 사망률을 임계 임계값 ($ ho_h^*$) 이하로 낮추면 역행 분기가 제거되고, 결과적으로 $R_0 < 1$ 일지라도 질병 에르라디케이션을 가능하게 한다는 것이다. 이는 효과적인 치료가 통제 전략에서 중요한 역할을 한다는 점을 강조한다.

ABSTRACT

We present a deterministic mathematical model for malaria transmission with waning immunity. The model consists of five non-linear system of differential equations. We used next generation matrix to derive the basic reproduction number $R_0$. The disease free equilibrium was computed and its local stability has been shown by the virtue of the Jacobean matrix. Moreover, using Lyapunov function theory and LaSalle Invariance Principle we have proved that the disease free equilibrium is globally asymptotically stable. Conditions for existence of endemic equilibrium point have been established. A qualitative study based on bifurcation theory reveals that backward bifurcation occur in the model. The stable disease free equilibrium of the model coexists with the stable endemic equilibrium when $R_0&lt;1$. Furthermore, we have shown that bringing the number of disease (malaria) induced death rate below some threshold is sufficient enough to eliminate backward bifurcation in the model.

연구 동기 및 목표

• 인간에서 점차 잃어가는 면역을 포함한 SIRS 모델을 개발하고, 모기에서의 SI 역학을 수립한다.
• 질병 없음 평형(Disease-Free Equilibrium, DFE)의 안정성 분석 및 그 전역 점근적 안정성 조건 설정.
• 유병 평형의 존재성과 안정성 조사 및 역행 분기 가능성 탐구.
• 특히 질병 유도 사망률 감소를 통한 역행 분기 제거 조건 규명.
• 이러한 역학적 특성이 말라리아 통제 및 에르라디케이션 전략에 미치는 영향 평가.

제안 방법

• 점차 잃어가는 면역을 고려한 SIRS 인간 및 SI 모기 병변을 포함한 5차원 비선형 상미분방정식계 수립.
• 기본 전파 수치 $R_0$ 도출을 위해 다음 세대 행렬 방법 사용.
• 리아프노프 함수 이론 및 라살 레인지 원리 적용을 통해 $R_0 < 1$ 일 때 질병 없음 평형의 전역 점근적 안정성 증명.
• 소토마요르 정리 기반의 정성적 분기 분석을 통해 $R_0 = 1$ 에서의 역행 분기 조건 규명.
• 역행 분기를 제거할 수 있는 질병 유도 사망률의 임계값 $\rho_h^*$ 유도.
• 분석 결과의 검증을 위해 MATLAB에서 4차 룬게-쿠타 방법을 사용한 수치 시뮬레이션 수행.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점차 잃어가는 면역을 고려한 SIRS 말라리아 모델에서 역행 분기는 어떤 조건에서 발생하는가?
• RQ2 질병 없음 평형이 $R_0 < 1$ 일 때도 안정할 수 있으며, 동시에 안정적인 유병 평형이 존재할 수 있는가?
• RQ3 말라리아 유도 사망률은 역행 분기 발생 또는 제거에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 역행 분기를 방지하고 질병 에르라디케이션을 가능하게 하는 질병 유도 사망률의 임계값이 존재하는가?
• RQ5 사망률을 저감하는 치료 및 개입 전략은 말라리아 전파의 장기적 역학에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 리아프노프 함수 및 라살 레인지 원리 적용을 통해 $R_0 < 1$ 일 때 질병 없음 평형이 전역 점근적 안정함을 증명하였다.
• 계수 $a > 0$ 일 때 $R_0 = 1$ 에서 역행 분기가 발생하며, 이는 질병 유도 사망률을 포함한 모델 파라미터에 의존한다.
• $R_0 < 1$ 일지라도 안정적인 질병 없음 평형과 안정적인 유병 평형이 동시에 존재함을 확인하여, $R_0 < 1$ 이라는 조건만으로는 질병 에르라디케이션을 보장하지 못함을 시사한다.
• 질병 유도 사망률 $\rho_h$ 가 임계값 $\rho_h^* = \frac{\Lambda_h^2 \alpha_v^3 (\gamma_h + \alpha_h)}{\beta_v \Lambda_v - \Lambda_h^2 \alpha_v^3}$ 이하로 낮아지면 역행 분기가 제거됨을 확인하였다.
• 수치 시뮬레이션 결과 $R_0 < 1$ 일 때 질병 없음 평형의 국소 및 전역 안정성이 확인되었으며, 높은 회복률 및 면역 상실률 조건에서도 유병 전파가 지속됨을 시사하였다.
• 모델 시뮬레이션에서 $R_0 = 47.6631$ 일 때 지속적인 유병 전파가 관찰되어, $R_0$ 가 높을 경우 말라리아 통제의 어려움을 강조하였다.