[논문 리뷰] Backward propagation of chaos

Mathieu Laurière, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 15.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 약하게 상호작용하는 입자 시스템에서 혼돈적인 종단 조건을 가진 경우, McKean-Vlasov 역확률미분방정식(BSDE)으로 모델링된 후행적 혼돈 전파를 수립한다. 표준 리프시츠 조건과 적분 가능성 조건 하에서, 경험 측도가 제한적인 McKean-Vlasov BSDE의 법칙으로 향하는 워샤르슈타인 거리 기반의 비점근 수렴 속도를 유도하며, 차원에 의존하지 않는 농도 불등식을 제공함으로써 워샤르슈타인 공간 상의 PDE에 대한 입자 기반 근사가 가능해진다.

ABSTRACT

This paper develops a theory of propagation of chaos for a system of weakly interacting particles whose terminal configuration is fixed as opposed to the initial configuration as customary. Such systems are modeled by backward stochastic differential equations. Under standard assumptions on the coefficients of the equations, we prove propagation of chaos results and quantitative estimates on the rate of convergence in Wasserstein distance of the empirical measure of the interacting system to the law of a McKean-Vlasov type equation. These results are accompanied by non-asymptotic concentration inequalities. As an application, we derive rate of convergence results for solutions of second order semilinear partial differential equations to the solution of a partial differential written on an infinite dimensional space.

연구 동기 및 목표

• 기존의 전통적 혼돈 전파 이론을 초기 조건이 아닌 종단 조건이 혼탁한 시스템으로 확장하기 위해.
• n-입자 시스템의 경험 측도가 McKean-Vlasov BSDE의 해로 수렴하는 워샤르슈타인 거리 기반의 정량적 수렴 속도를 수립하기 위해.
• 상호작용 입자 시스템의 수렴에 대해, 일부 차원에 의존하지 않는 비점근 농도 불등식을 도출하기 위해.
• 유한차원 입자 시스템을 통해 무한차원 워샤르슈타인 공간 상의 2차 비선형 PDE 해를 근사하기 위해 결과를 적용하기 위해.
• 역확률 표현과 입자 시스템의 극한을 활용한 PDE 근사에 대한 확률적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 시스템의 경험 분포를 통해 상호작용하는 입자를 역확률미분방정식(BSDE)으로 모델링한다.
• Sznitman의 커플링 기법을 BSDE에 적응시킨 후, BSDE의 사전 추정과 측도 농도 추론 기법을 결합한다.
• 입자 과정의 제곱 차이에 이토의 공식을 적용하고, 얀의 부등식과 그로워발의 부등식을 사용하여 오차 전파를 통제한다.
• n-입자 시스템의 경험 측도와 McKean-Vlasov 극한의 법칙 사이의 워샤르슈타인 거리에 대한 경계를 수립한다.
• 특히 Chassagneux 등이 제시한 결과를 활용해 PDE의 확률적 표현 공식을 도출함으로써, BSDE 수렴과 PDE 근사 간의 연결 고리를 확립한다.
• Bartl과 Tangpi의 결과를 활용해 차원에 의존하지 않는 농도 불등식을 유도함으로써 수렴 경계의 강건성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약하게 상호작용하는 입자 시스템에서 종단 조건이 혼탁한 경우, 혼돈이 시간 역행으로 전파될 수 있는가?
• RQ2 이러한 시스템의 경험 측도가 McKean-Vlasov BSDE의 해로 수렴하는 비점근 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 특히 차원에 의존하지 않는 농도 불등식은 상호작용하는 역행 입자 시스템의 수렴에 대해 도출될 수 있는가?
• RQ4 역행 혼돈 전파를 어떻게 활용하여 무한차원 워샤르슈타인 공간 상의 비선형 PDE 해를 근사할 수 있는가?
• RQ5 수렴 속도와 농도 경계는 상태 공간의 차원 또는 입자 수에 얼마나 의존하는가?

주요 결과

• n-입자 시스템의 경험 측도는 $ C_{L_{F},T} \times \tilde{\rho}_n $ 에 의해 제한되는 속도로 McKean-Vlasov BSDE의 법칙으로 수렴하며, 여기서 $ \tilde{\rho}_n $ 는 $ n $ 에 따라 달라지는 초기 혼탁도를 측정한다.
• 과정과 경험 측도 양쪽에 대해 워샤르슈타인 거리 기반의 비점근 수렴 속도가 도출되었으며, 리프시츠 상수와 시간 영역에 명시적인 의존성이 있다.
• 경험 측도 수렴에 대해 차원에 의존하지 않는 농도 불등식이 BSDE에 대한 함수 불등식에 기반하여 수립되었다.
• 입자 시스템의 값 함수가 워샤르슈타인 공간 상의 PDE 해로 수렴하는 속도는 $ C_{L_{F},T} (\rho_n + r_{n,d,k,2}) $ 에 의해 제한되며, 여기서 $ r_{n,d,k,2} $ 는 경험 측도의 표본 오차를 기록한다.
• 이 결과들은 Buckdahn 등과 Hu 등이 이전에 얻은 결과들을 복원하고 강화하며, 새로운 기능 불등식 기반 접근법을 통해 역상호작용 입자 시스템의 수렴 속도 분석을 향상시켰다.
• 이 프레임워크는 입자 시스템을 통해 유한차원 PDE로 무한차원 워샤르슈타인 공간 상의 2차 비선형 PDE 해를 근사하는 데 기여하며, 확률적 표현을 활용한다.