[논문 리뷰] Backward Stochastic Differential Equations with no driving martingale, Markov processes and associated Pseudo Partial Differential Equations

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반 마코프 과정에 의해 구동되는, 구동 마르팅글 없이 새로운 형태의 후행 확률 미분 방정식(BSDE)을 제안하며, 고전적 반선형 PDE를 일반화하는 의사-PDE와 연관된다. 주요 기여는 이러한 마르코프성 BSDE의 해와 관련 의사-PDE의 고전적 해 및 마르팅글 해 사이의 등가성을 입증함으로써, 고전적 Pardoux-Peng 프레임워크를 브라운 운동을 초월해 일반 마르코프 과정으로 확장하는 것이다.

ABSTRACT

We discuss a class of Backward Stochastic Differential Equations(BSDEs) with no driving martingale. When the randomness of the driver depends on a general Markov process $X$, those BSDEs are denominated Markovian BSDEs and can be associated to a deterministic problem,called Pseudo-PDE which constitute the natural generalization of a parabolicsemilinear PDE which naturally appears when the underlying filtration is Brownian. We consider two aspects of well-posedness forthe Pseudo-PDEs: "classical" and "martingale" solutions.

연구 동기 및 목표

• 일반 마르코프 과정에 적용 가능한, 구동 마르팅글이 없는 새로운 형태의 후행 확률 미분 방정식(BSDE) 클래스를 개발하는 것.
• 브라운 운동 사례에서 나타나는 고전적 반선형 PDE를 일반화하는 의사-PDE라 불리는 결정론적 PDE 유사 문제를 정의하는 것.
• 관련 의사-PDE의 고전적 해 및 마르팅글 해와 마르코프성 BSDE의 해 사이의 등가성을 입증하는 것.
• 카르레 두 샹 연산자와 마르팅글 문제 공식화를 활용하여, 고전적 Pardoux-Peng BSDE-PDE 이중성을 브라운 운동이 아닌 일반 마르코프 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 일반 마르코프 과정 $ X $를 기반으로 하는 형태의 마르코프성 BSDE를 정의: $ Y^{s,x}_t = g(X_T) + \int_t^T f(r,X_r,Y^{s,x}_r, \sqrt{d\langle M^{s,x}\rangle/dV}(r)) dV_r - (M^{s,x}_T - M^{s,x}_t) $.
• 이 BSDE와 의사-PDE $ a(u)(t,x) + f(t,x,u(t,x), \sqrt{\Gamma(u,u)}(t,x)) = 0 $을 연관시키며, 종단 조건 $ u(T,\cdot) = g $를 갖는다. 여기서 $ \Gamma $는 카르레 두 샹 연산자이다.
• 마르팅글 문제 공식화를 통해, 결정론적 생성자 $ a $를 이용해 기초 마르코프 과정 $ X $를 정의함으로써, 법에 의한 SDE의 일반화를 달성한다.
• 쿠니타-와타나베 분해와 각도 괄호 분해를 적용하여 국소 마르팅글 $ M $을 상대적으로 측도 $ V $에 대해 직교하는 성분 $ M^V $ 및 $ M^{\perp V} $로 분해한다.
• $ \mathcal{H}^{2,V} $ 및 $ \mathcal{H}^{2,\perp V} $가 $ \mathcal{H}^2_0 $의 직교하는 부분 힐베르트 공간임을 입증함으로써, 마르팅글 성분의 분해 가능성을 보장한다.
• 적절한 정규성 및 적분 가능성 조건 하에서, 의사-PDE의 고전적 해 및 마르팅글 해에 대한 존재성과 유일성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기초 과정이 일반 마르코프 과정일 경우, 어떤 방식으로는 구동 마르팅글이 없는 후행 확률 미분 방정식(BSDE)를 정의할 수 있는가?
• RQ2 비브라운 운동적, 마르코프성 후행 과정의 맥락에서 고전적 반선형 PDE의 자연스러운 일반화 형태는 무엇인가?
• RQ3 브라운 운동 필터링이 없는 상황에서, 마르코프성 BSDE의 해는 어떤 결정론적 문제(의사-PDE)와 연결될 수 있는가?
• RQ4 고전적 및 마르팅글 해의 관점에서, 관련 의사-PDE의 해가 존재하고 유일하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 카르레 두 샹 연산자 $ \Gamma(u,u) $는 마르코프성 BSDE와 그 결정론적 대응체의 맥락에서 어떻게 자연스럽게 나타나는가?

주요 결과

• 논문은 마르코프성 BSDE와 의사-PDE 사이의 이중성을 확립하며, 고전적 Pardoux-Peng 결과를 브라운 운동을 초월해 일반화한다.
• 충분한 정규성이 가정될 경우, 마르코프성 BSDE의 해는 의사-PDE의 고전적 해와 대응됨을 보였다.
• 더 약한 조건 하에서도 의사-PDE의 마르팅글 해 존재성을 증명함으로써, 고전적 프레임워크를 더 일반적인 마르코프 과정으로 확장하였다.
• 측도 $ V $에 대해 직교하는 국소 마르팅글 $ M $의 분해 $ M^V $ 및 $ M^{\perp V} $는 분석의 핵심이며, BSDE의 잘 정의됨을 보장한다.
• 카르레 두 샹 연산자 $ \Gamma(u,u) = a(u^2) - 2ua(u) $는 의사-PDE에서 이차 변동성 항으로 자연스럽게 나타나며, 고전적 PDE에서 $ \sigma \nabla u $의 역할을 일반화한다.
• 논문은 $ \mathcal{H}^{2,V} $ 및 $ \mathcal{H}^{2,\perp V} $가 $ \mathcal{H}^2_0 $의 닫힌 직교 부분 힐베르트 공간임을 증명함으로써, 분해의 유일성과 해 프레임워크의 안정성을 보장한다.