[논문 리뷰] Backward Stochastic Differential Equations with Non-Markovian Singular Terminal Conditions with General Driver and Filtration

Mahdi Ahmadi, Alexandre Popier외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비마르코프성 특성을 가진 특이 종단 조건을 갖는 후행 확률 미분 방정식(BSDEs)의 해 존재성을 확립한다. 기존 결과를 다차원 확산 과정, 점프 측도, 초선형 드라이버로 일반화한다. 주요 기여는 최소 초해(solution)가 실제로 해임을 증명하는 것이다. 즉, 강한 타임스탬프 조건(예: 강한 타원성 조건을 만족하는 확산의 퇴출 시간)이 만족될 경우, 거의 확실히 종단 값을 도달함을 보인다. 이러한 타임스탬프는 종단 시간 근처에서 연속 밀도를 갖는다는 것이 입증된다.

ABSTRACT

We consider a class of Backward Stochastic Differential Equations with superlinear driver process $f$ adapted to a filtration supporting at least a $d$ dimensional Brownian motion and a Poisson random measure on ${\\mathbb R}^m- \\{0\\}.$ We consider the following class of terminal conditions $\\xi_1 = \\infty \\cdot 1_{\\{\ au_1 \\le T\\}}$ where $\ au_1$ is any stopping time with a bounded density in a neighborhood of $T$ and $\\xi_2 = \\infty \\cdot 1_{A_T}$ where $A_t$, $t \\in [0,T]$ is a decreasing sequence of events adapted to the filtration ${\\mathcal F}_t$ that is continuous in probability at $T$. A special case for $\\xi_2$ is $A_T = \\{\ au_2 > T\\}$ where $\ au_2$ is any stopping time such that $P(\ au_2 =T) =0.$ In this setting we prove that the minimal supersolutions of the BSDE are in fact solutions, i.e., they attain almost surely their terminal values. We further show that the first exit time from a time varying domain of a $d$-dimensional diffusion process driven by the Brownian motion with strongly elliptic covariance matrix does have a continuous density; therefore such exit times can be used as $\ au_1$ and $\ au_2$ to define the terminal conditions $\\xi_1$ and $\\xi_2.$ The proof of existence of the density is based on the classical Green's functions for the associated PDE.

연구 동기 및 목표

• 기존의 마르코프성 특성을 가진 BSDE의 특이 종단 조건에 대한 결과를 마르코프성이 아닌 설정으로 확장한다.
• 종단 조건이 ∞·1_{τ≤T} 및 ∞·1_{A_T} 형태인 BSDE에 대해 해(최소 초해가 아닌)의 존재성을 확립한다. 여기서 τ는 T 근처에서 유계 밀도를 갖는 임의의 정지시간이며, A_t는 좌측 연속성과 확률적 감소성을 갖는 적합한 사건의 수열이다.
• 다차원 브라운 운동, 포아송 랜덤 측도, 초선형성과 적합성을 갖는 일반 드라이버 과정 f를 포함하는 프레임워크를 일반화한다.
• d차원 확산 과정의 퇴출 시간이 강한 타원성 공분산 행렬을 갖는 경우, 종단 시간 T 근처에서 연속 밀도를 갖는다는 것을 증명하여, 이러한 시간을 특이 종단 조건 정의에 사용할 수 있음을 보장한다.
• '연속성 문제'를 해결한다. 즉, 해 과정이 T에 접근할 때의 극한이 거의 확실히 종단 조건과 일치함을 보인다. 이는 드라이버와 필터레이션에 대한 일반적인 가정 하에 성립한다.

제안 방법

• 저자는 d차원 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도를 지지하는 필터레이션에 대해 정의된 초선형성과 적합성을 갖는 일반 드라이버 f를 갖는 BSDE를 고려한다.
• 특이 종단 조건을 두 유형으로 정의한다: τ가 T 근처에서 유계 밀도를 갖는 정지시간일 경우 ξ₁ = ∞·1_{τ≤T}이며, A_t가 좌측 연속성과 확률적 감소성을 갖는 적합한 집합일 경우 ξ₂ = ∞·1_{A_T}이다.
• 해의 존재성을 증명하기 위해 근사해의 수열 (Y^k, Z^k, ψ^k, M^k)을 구성하고, 성장률을 제어하기 위해 변환된 과정 Y^ε,k 를 통한 비교 정리를 사용한다.
• 핵심 기술적 단계는 드라이버의 Z와 ψ에 대한 의존성의 스토크라스틱 지수를 반영하는 과정 V^ε,k_t,s 의 적분 가능성과 함께 헬더 부등식을 사용한 사전 경계값 유도이다.
• 저자는 강한 타원성 조건을 만족하는 확산 행렬을 갖는 확산의 퇴출 시간이 연속 밀도를 갖는다는 사실을 증명하며, 이는 관련된 포크너-플랭크 PDE의 그린 함수를 통해 유도된다.
• ε↓0 으로 한계를 취하고, 점근적 수렴 정리와 단조 수렴 정리를 적용함으로써, 한계 과정이 lim_{t→T} Y_t = ξ a.s. 를 만족함을 보여, 이것이 해임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비마르코프성 특성을 가진 특이 종단 조건을 갖는 BSDE의 최소 초해가 실제로 해가 되는 조건은 무엇인가? 즉, 거의 확실히 종단 값을 도달하는가?
• RQ2 마르코프성 퇴출 시간을 초월하여, T 근처에서 밀도가 유계인 일반 정지시간 τ를 포함한 특이 종단 조건의 범위를 확장할 수 있는가?
• RQ3 강한 타원성 공분산 행렬을 갖는 d차원 확산 과정의 퇴출 시간 τ는 종단 시간 T 근처에서 연속 밀도를 갖는가? 이를 통해 특이 종단 조건 정의에 사용할 수 있는가?
• RQ4 초선형 드라이버를 갖는 BSDE의 해 이론을 점프 측도와 일반적인 적합 드라이버 f를 포함하도록 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 해 과정이 종단 시간 T에서 연속임을 보장하는 조건은 무엇이며, 이를 통해 '연속성 문제'를 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 종단 조건이 ξ₁ = ∞·1_{τ≤T} 인 BSDE의 최소 초해는 τ가 T 근처에서 유계 밀도를 갖는 경우 진정한 해임을 증명한다.
• 일반 종단 조건 ξ₂ = ∞·1_{A_T} 에 대해, A_t 가 감소성과 좌측 연속성 확률적 적합성을 갖는 경우, 최소 초해는 A_T 가 T 에서 확률적으로 연속일 때 해가 된다.
• 강한 타원성 공분산 행렬을 갖는 d차원 확산 과정이 시간에 따라 변하는 영역에서 첫 번째 퇴출 시간 τ 는 T 근처에서 연속 밀도를 갖는다. 이는 ξ₁ 정의에 τ 를 사용할 수 있음을 정당화한다.
• 해 과정 (Y,Z,ψ,M) 이 lim_{t→T} Y_t = ξ 거의 확실히 만족함을 보여, 비마르코프성 특성을 가진 특이 종단 조건에 대한 연속성 문제를 해결한다.
• 헬더 부등식과 스토크라스틱 지수 V^ε,k_t,s 의 적분 가능성에 기반한 사전 경계값을 도출함으로써, 해가 유한하고 T 에서 연속임을 결론 내린다.
• 해 과정이 T 에서 연속임을 증명하기 위해, 주어진 적분 가능성과 유계성 조건 하에서 조건부 기대값 ε^p V^ε,k_t,T−ε Y^k_T−ε 가 ε↓0 일 때 0으로 수렴함을 보였다.