[논문 리뷰] Backward stochastic viability property with jumps and applications to the comparison theorem for multidimensional BSDEs with jumps

Xuehong Zhu|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 볼록집합에 대한 제곱거리 함수의 정규화를 사용하여 다차원 점프를 동반하는 역확률미분방정식(BSDEs)에 대한 뒤집힌 확률적 타당성 성질(Backward Stochastic Viability Property, BSVP)을 수립한다. 주요 기여는 해가 주어진 닫힌 볼록집합에 거의 확실히 남아 있도록 하는 필요충분조건을 제시하는 것으로, 이는 생성자(generator)의 리프시츠 조건과 적분 가능성 조건 하에서 다차원 점프를 동반하는 BSDEs에 대한 비교정리 정리를 증명하는 데 응용된다.

ABSTRACT

In this paper, we study conditions under which the solutions of a backward stochastic differential equation with jump remains in a given set of constrains. This property is the so-called "viability property". As an application, we study the comparison theorem for multidimensional BSDEs with jumps.

연구 동기 및 목표

• 다차원 점프를 동반하는 BSDE의 해가 주어진 닫힌 볼록집합에 거의 확실히 남아 있도록 하는 조건을 기술하는 것.
• 확산만을 고려한 이전 결과를 점프-확산 설정으로 일반화하여 뒤집힌 확률적 타당성 성질(BSVP)을 확장하는 것.
• BSVP를 적용하여 다차원 점프를 동반하는 BSDEs에 대한 비교정리 정리를 도출하는 것.
• 제약집합의 거리 함수에 대한 생성자의 행동에 기반한 타당성에 대한 필요충분조건을 제공하는 것.
• 불리 등(2000)의 접근 방식을 모래화(mollification)와 정규화된 거리 함수에 대한 이토의 공식을 사용하여 점프 유형의 BSDEs로 일반화하는 것.

제안 방법

• 닫힌 볼록집합 K에 대한 제곱거리 함수의 매끄럽게 다듬어진 형태인 φδ를 사용하여 거리 함수 dK를 정규화한다.
• 점프를 동반하는 BSDE의 해 (Y,Z,U)에 대해 φδ(Yt)에 이토의 공식을 적용한다.
• 생성자 f, ∇φδ의 기울기, 그리고 정규화된 함수의 헤시안 D²φδ를 포함하는 사전 추정치를 유도한다.
• 생성자 f가 거리 함수 dK에 상대적으로 미분형 조건을 만족하도록 제약을 두며, 이는 C*와 생성자의 리프시츠 행동을 포함하는 상한으로 표현된다.
• 얻어진 기대치 추정치에 그로워럴의 부등식을 적용하여 δ→0일 때 E[φδ(Yt)]의 성장률을 제어한다.
• δ→0일 때 파투의 보조정리(Fatou's Lemma)를 사용하여 극한을 취함으로써 dK(Yt)=0 거의 확실히 성립함을 도출하고, 이는 모든 t∈[0,T]에 대해 Yt∈K 거의 확실히 성립함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 점프를 동반하는 BSDE의 해가 주어진 닫힌 볼록집합 K에 대해 모든 시간 t∈[0,T]에 거의 확실히 남아 있도록 하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 타당성 기반 접근을 통해 다차원 점프를 동반하는 BSDEs에 대한 비교정리 정리를 확립할 수 있는가?
• RQ3 점프가 존재하는 상황에서 뒤집힌 확률적 타당성 성질을 보장하기 위한 생성자 f의 정확한 미분 조건은 무엇인가?
• RQ4 점프 성분의 포함이 확산만 있는 경우와 비교해 타당성 조건에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 정규화된 거리 함수 φδ는 점프-확산 BSDEs의 타당성 조건 유도에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 다차원 점프를 동반하는 BSDE의 해 (Y,Z,U)가 모든 t∈[0,T]에 대해 닫힌 볼록집합 K에 거의 확실히 남아 있는 것은 생성자 f가 거리 함수 dK와 상수 C*를 포함하는 미분형 조건을 만족할 때이고, 그때에만 성립한다.
• 타당성 조건은 다음과 같이 표현된다: f(s,y,z,u)⋅∇d²K(y) ≤ (C*/2)d²K(y) + L|y−y′|dK(y) + (1/2)⟨D²d²K(y)z,z⟩ + ∫E[d²K(y+u(e))−d²K(y)−⟨∇d²K(y),u(e)⟩]n(de) (y가 Yt 근처일 때).
• 증명은 정규화된 거리 함수 φδ에 이토의 공식을 적용하여 유도된 추정치에 기반하며, δ→0 이후 그로워럴의 부등식을 통해 제어된다.
• δ→0일 때, 정규화된 함수 φδ(Yt)는 거의 확실히 d²K(Yt)로 수렴하고, 파투의 보조정리를 통해 E[d²K(Yt)]=0임을 보장하여 Yt∈K 거의 확실히 성립함을 의미한다.
• 핵심 추정치 E[φδ(Yt)] ≤ [δ² + L(T−t)δ]e^(1+C*/2)T 는 δ<1/L일 때 성립하며, δ→0일 때 이 값은 0으로 수렴한다.
• 다차원 점프를 동반하는 BSDEs에 대한 비교정리 정리는 타당성 결과의 직접적 응용으로 도출되며, 훨씬 이른 결과인 후와 펑(2006)의 결과를 점프-확산 케이스로 일반화한다.