[논문 리뷰] Backward stochastic Volterra integral equations associated with a Levy process and applications

Wen Lu|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동과 독립적인 레비 과정과 관련된 투겔스 마틴갈레에 의해 구동되는 후행 확률 볼테라 적분 방정식(BSVIELs)에 대한 적응형 M-해의 존재성, 유일성 및 안정성을 확립한다. 선형 BSVIEL과 정방향 방정식 사이의 이중성 원리를 도입하고, 비교 정리를 증명하며, M-해를 통해 역동적 일致 위험 측도를 구성함으로써, 점프-확산 역학을 갖는 볼테라 유형 방정식으로 BSDE 이론을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we study a class of backward stochastic Volterra integral equations driven by Teugels martingales associated with an independent Lévy process and an independent Brownian motion (BSVIELs). We prove the existence and uniqueness as well as stability of the adapted M-solutions for those equations. Moreover, a duality principle and then a comparison theorem are established. As an application, we derive a class of dynamic risk measures by means of M-solutions of certain BSVIELs.

연구 동기 및 목표

• 독립적인 레비 과정과 관련된 투겔스 마틴갈레 및 브라운 운동에 의해 구동되는 후행 확률 볼테라 적분 방정식(BSVIELs)을 연구한다.
• 생성자 f에 대한 리프시츠 조건 하에서 이러한 방정식에 대한 적응형 M-해의 존재성, 유일성 및 안정성을 확립한다.
• 동일한 노이즈 원천에 의해 구동되는 선형 BSVIEL과 선형 FSVIEL 사이의 이중성 원리를 개발한다.
• 이중성 원리를 활용하여 M-해에 대한 비교 정리를 증명한다.
• 이론적 프레임워크를 적용하여 연속 시간에서 동적 일치 위험 측도의 한 클래스를 구성한다.

제안 방법

• 독립적인 브라운 운동과 레비 과정과 관련된 투겔스 마틴갈레에 의해 구동되는 BSVIEL을 형식화하며, 두 과정에 의해 생성되는 필터레이션을 사용한다.
• 적응형 M-해의 공간을 정의하여 해 성분(Y, Z, U)이 필터레이션에 대해 적응형임을 보장한다.
• 생성자 f에 대한 리프시츠 조건 하에서 고정점 방법을 사용하여 M-해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 동일한 노이즈 구조를 갖는 선형 BSVIEL과 선형 FSVIEL 간의 이중성 원리를 증명한다.
• 이중성과 생성자 f의 성질을 활용하여 M-해에 대한 비교 정리를 도출한다.
• 특정 BSVIEL에 대해 (Y, Z, U)가 해를 이루고, 생성자가 부분가환성 및 양의 동차성을 만족할 때, ρ(t;φ(·)) = Y(t)로 정의함으로써 동적 위험 측도를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라운 운동과 레비 과정과 관련된 투겔스 마틴갈레에 의해 구동되는 BSVIEL에 대해, 적응형 M-해가 리프시츠 조건 하에서 유일하고 안정적으로 구해질 수 있는가?
• RQ2 동일한 노이즈 구조 하에서 선형 BSVIEL과 정방향 확률 볼테라 적분 방정식 간에 이중성 관계가 존재하는가?
• RQ3 생성자에 대한 적절한 조건 하에서 M-해에 대한 비교 정리가 성립하는가?
• RQ4 특정 클래스의 BSVIEL에 대한 M-해로부터 동적 일치 위험 측도를 도출할 수 있는가?
• RQ5 생성자에 어떤 조건이 성립해야 유도된 위험 측도가 일치성을 만족하는가?

주요 결과

• 생성자에 대한 리프시츠 조건 하에서, 브라운 운동과 투겔스 마틴갈레에 의해 구동되는 BSVIEL에 대해 적응형 M-해의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 선형 BSVIEL과 선형 FSVIEL 간에 이중성 원리가 증명되어, 동일한 노이즈 원천 하에서 후행 및 정방향 방정식의 해를 연결한다.
• 이중성 원리를 활용하여 M-해에 대한 비교 정리를 도출하였으며, 한 생성자가 다른 생성자보다 지배적일 경우, 해당 해들이 경로 기반 부등식을 만족함을 보였다.
• 부분가환성 및 양의 동차성을 만족하는 생성자를 갖는 BSVIEL의 M-해는 일치 위험 측도 충족 조건을 만족하는 동적 위험 측도를 유도한다.
• 생성자가 f(t,s,y,z,u) = r(s)y + f̃(t,s,z,u) 형태이며, r(·)가 유계이고 결정론적이고, f̃가 부분가환성 및 양의 동차성을 만족할 경우, 유도된 위험 측도는 동적이고 일치한다.
• 이 프레임워크는 고전적 BSDE 이론을 점프-확산 역학을 갖는 볼테라 유형 방정식으로 확장하며, 동적 위험 관리 및 금융 수학 분야의 응용을 가능하게 한다.