[논문 리뷰] Badly Approximable Numbers and the Growth Rate of the Inclusion Length of an Almost Periodic Function

Mikhail Anikushin|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 09.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 차원 이론 기법을 사용하여 준주기적 거의 periodic 함수의 포함 길이 성장률에 대한 하한을 확립하며, 이는 푸리에 지수의 디오판틴 근사 성질과 연결된다. 악재근사 가능한 지수의 경우, 이 하한이 동시에 디오판틴 근사로부터 유도된 상한과 渐近적으로 일치함을 보여주며, 추정의 날카로움을 시사한다.

ABSTRACT

We study the growth rate of the inclusion length of an almost periodic function. For a given a. p. function such growth rate depends on the algebraic structure of Fourier exponents, i. e. on how good they can be approximated by rational numbers. In additional, as appears from the definition, the inclusion length carries some information about the translation numbers (almost periods). Our result is a lower bound of the growth rate of the inclusion interval of a quasiperiodic function (theorem 3). Here we use methods from dimension theory. We do not assume anything about exponents, but rationally independence. This suggest an idea that this lower bound can be reached (in asymptotic sense) for some "bad" exponents. Koichiro Naito in his papers on estimates of the fractal dimension of almost periodic attractors proved an upper bound of the inclusion length for some class of a.p. functions, using simultaneous Diophantine approximations. For the special case of badly approximable exponents we can see that the both estimates (if we consider them as asymptotic estimates) are coincide (see theorem 4). We hope that ideas and results presented in this paper can be useful not only to understand the nature of badly approximable numbers and almost periods, but also for more detailed understanding of the structure of almost periodic attractors.

연구 동기 및 목표

• 푸리에 지수의 근사 성질에 기반하여 거의 periodic 함수의 포함 길이 성장률을 분석하는 것.
• 푸리에 지수의 대수적 구조를 통해 포함 길이를 이동 수(거의 주기)와 연결하는 것.
• 오직 지수들의 유리수 독립성이라는 최소 조건만을 가정하여 포함 길이 성장률에 대한 하한을 확립하는 것.
• 이 하한이 '악재근사 가능한' 지수에 대해 渐近적으로 날카로운지 조사하는 것.
• 특히 거의 periodic 집 attractor의 맥락에서 동역학계 이론과 수론의 결과를 연결하는 것.

제안 방법

• 차원 이론 기법을 사용하여 거의 periodic 함수의 포함 길이를 분석한다.
• 특히 악재근사 가능한 수에 초점을 맞춘 디오판틴 근사 도구를 적용한다.
• 푸리에 지수의 대수적 구조와 그 유리수 근사 품질을 고려한다.
• 유리수 독립성 이외의 특정 산술적 구조를 가정하지 않고 포함 길이 성장률에 대한 하한을 도출한다.
• Koichiro Naito의 거의 periodic attractor의 프랙탈 차원에 관한 이전 연구에서 유도된 상한과 유도된 하한을 비교한다.
• 특히 악재근사 가능한 지수의 특수 케이스에서 하한과 상한을 비교하기 위해 渐近적 분석을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 periodic 함수의 포함 길이 성장률은 그 푸리에 지수의 디오판틴 성질에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ2 오직 지수들의 유리수 독립성만을 가정할 때, 포함 길이 성장률에 비어 있지 않은 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ3 유도된 하한이 악재근사 가능한 지수의 클래스에 대해 渐近적으로 날카로운가?
• RQ4 포함 길이와 이동 수(거의 주기)는 푸리에 스펙트럼의 산술적 구조를 어느 정도 반영하는가?
• RQ5 수론과 동역학계의 상호작용을 어떻게 활용하여 거의 periodic attractor의 구조를 더 잘 이해할 수 있는가?

주요 결과

• 푸리에 지수들의 유리수 독립성이라는 유일한 가정 하에 준주기적 함수의 포함 길이 성장률에 대한 하한이 확립된다.
• 악재근사 가능한 지수의 클래스에 대해 이 하한이 渐近적으로 날카로움을 보이며, 이는 이전 연구에서 프랙탈 차원에 대해 유도된 상한과 일치한다.
• 포함 길이 성장률은 푸리에 지수의 유리수 근사 품질에 본질적으로 연결되어 있으며, 특히 악재근사 가능한 경우에 두드러진다.
• 결과는 악재근사 가능한 지수가 포함 길이 성장률이 가능한 최소의 渐近적 비율을 달성하는 임계적인 경우임을 시사한다.
• 지수의 대수적 구조를 통해 포함 길이와 이동 수 사이의 연결이 확인된다.
• 결과는 지수의 수론적 성질이 거의 periodic 함수의 기하학적 및 동역학적 복잡성에 지배적임을 지지한다.