[논문 리뷰] Badly approximable points on planar curves and winning

Jinpeng An, Victor Beresnevich외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 모든 곳에서 비퇴화인 평면 곡선 또는 다이오판틴 조건을 만족하는 비퇴화된 직선에서 $(i,j)$-나쁜 근사점의 집합이 샤미드 게임의 의미에서 승리 집합임을 증명한다. 이는 이전 결과에서 제한적인 liminf 조건을 필요로 하지 않고, Davenport의 문제를 강화하여 해결하며, [8]에서 제안한 새로운 메커니즘을 사용해 비동차 설정으로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

For any i,j>0 with i+j =1, let Bad(i,j) denote the set of points (x,y) \in R^2 such that max \{ ||qx||^{1/i}, \, ||qy||^{1/j} \} > c/q for some positive constant c = c(x,y) and all q in N. We show that \Bad(i,j) \cap C is winning in the sense of Schmidt games for a large class of planar curves C, namely, everywhere non-degenerate planar curves and straight lines satisfying a natural Diophantine condition. This strengthens recent results solving a problem of Davenport from the sixties. In short, within the context of Davenport's problem, the winning statement is best possible. Furthermore, we obtain the inhomogeneous generalizations of the winning results for planar curves and lines and also show that the inhomogeneous form of Bad(i,j) is winning for two dimensional Schmidt games.

연구 동기 및 목표

• 1960년대 Davenport가 제기한 평면 곡선에서의 나쁜 근사점 존재 문제를 해결하기 위해.
• 이전 결과에서 제한적인 liminf 조건을 제거하고, 비퇴화된 평면 곡선 $\mathcal{C}$에 대해 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$의 승리 성질을 확립하기 위해.
• 더 약한, 실질적으로 최적의 다이오판틴 조건 하에서 수직선이 아닌 직선에 대해 승리 성질을 확보하기 위해.
• 논문 [8]에서 제안한 메커니즘을 사용해 동차 승리 결과를 비동차 설정으로 일반화하여, $\mathbf{Bad}(i,j)$의 비동차 승리 성질을 증명하기 위해.

제안 방법

• 스미스의 $(\alpha,\beta)$-게임 프레임워크를 변형하여, 모든 곳에서 비퇴화인 $C^{(2)}$ 평면 곡선에 대해 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ 가 승리 집합임을 증명한다.
• 유형 (II)의 부분수열을 사용하는 정교한 트리 기반 추론을 도입하고, 조합적 경계를 통한 관련 노드 수의 추정을 수행한다.
• 논문 [8]에서 제안한 새로운 비동차 일반화 기법을 활용하여 동차 승리 결과를 비동차 경우로 확장한다.
• 곡선의 곡률과 $C^{(2)}$ 정규성 조건을 이용해 근사 행동을 제어하고, 게임 이론적 추론을 적용한다.
• 특정 집합 $\Delta(P)$ 와 $\Delta_{\bm{\theta}}(v)$ 와의 교차 크기에 대한 재귀적 추정을 사용하여 나쁜 노드의 수를 제한한다.
• 무한한 교차를 보장하기 위해 재귀 부등식 $a_n \geq 182a_{n-1} - \sum_{k=1}^n 43^k a_{n-k}$ 을 증명함으로써 승리 성질을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 곳에서 비퇴화인 평면 곡선 $\mathcal{C}$ 에 대해 제한적인 liminf 조건 없이 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ 가 승리 집합인가?
• RQ2 이전에 알려진 것보다 더 약한 다이오판틴 조건 하에서, 수직선이 아닌 직선 $\mathrm{L}_{a,b}$ 에서 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{L}_{a,b}$ 의 승리 성질을 확보할 수 있는가?
• RQ3 평면 곡선과 직선에서 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 의 비동차 형태가 샤미드 게임의 의미에서 승리 집합인가?
• RQ4 곡선에서 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 의 승리 성질이 추가 가정 없이도 교차의 풀 하우스도르프 차원을 보장하는가?
• RQ5 논문 [8]에서 제시한 메커니즘이 다이오판틴 추정에서 동차 승리 결과를 비동차 설정으로 확장하는 데 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 곳에서 비퇴화인 $C^{(2)}$ 평면 곡선 $\mathcal{C}$ 에 대해 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ 는 승리 집합이며, 이는 이전 결과에서 요구하던 liminf 조건 (1.2) 가 필요 없음을 의미한다.
• 수직선이 아닌 직선 $\mathrm{L}_{a,b}$ 에서는 이전 결과보다 더 약한 다이오판틴 조건 하에서 승리 성질이 성립하며, 특히 $\liminf_{q\to\infty} q^{1/\sigma - \epsilon} \|qa\| > 0$ 을 만족하는 어떤 $\epsilon > 0$ 이 존재하면 충분하며, 이 조건은 실질적으로 최적이다.
• 비동차 형태의 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 는 두 차원 샤미드 게임에서 승리 집합이며, 이는 동차 결과를 비동차 설정으로 확장한 것이다.
• 증명 과정에서 모든 $n \geq 1$ 에 대해 $a_n > 112a_{n-1}$ 이 성립하며, 여기서 $a_n$ 은 게임 트리의 노드 수를 세는 수이므로, 교차가 무한함을 의미하고 따라서 집합이 승리 집합임을 보여준다.
• 승리 결과는 $\dim(\bigcap_t \mathbf{Bad}(i_t,j_t) \cap \mathcal{C}) = 1$ 이며, 이는 추가 제약 조건 없이도 풀 차원성을 보장함을 확인한다.
• Davenport 문제의 맥락에서 이 결과는 최적임을 의미하며, 기저 다이오판틴 조건을 약화시키지 않는 한 승리 진술을 더 향상시킬 수 없다.