[논문 리뷰] Badly approximable systems of linear forms in absolute value

Mumtaz Hussain, Simon Kristensen|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 25.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 차원 $ u $의 격자에 대해 정의된 절대값 기준 악수렴 가능한 선형형식의 집합이 최대 하우스도르프 차원 $ mn $을 가짐을 증명하며, [9]에서 제기된 추측을 해결한다. 증명은 이중 리프시츠 변환을 통한 표준형으로의 환원과 슈미트의 악수렴 가능한 행렬에 대한 정리를 적용하여 목표 집합 내에서 전차원 부분집합을 구성한다.

ABSTRACT

In this paper we show that the set of mixed type badly approximable simultaneously small linear forms is of maximal dimension. As a consequence of this theorem we settle a conjecture of the first author.

연구 동기 및 목표

• 절대값 기준 악수렴 가능한 선형형식의 집합의 하우스도르프 차원을 결정한다. 이는 $ \mathbb{Z}^n $의 차원 $ u $인 격자 $ A \subset \mathbb{Z}^n $로 매개변수화된다.
• 논문 [9]에서 제기된 $ \operatorname{Bad}^*(m,n) $의 차원에 관한 추측을 해결한다. 이 경우 $ u = 0 $에 해당한다.
• 일부 좌표에는 절대값, 다른 좌표에는 정수까지의 거리를 사용하는 혼합 노름을 통합하여 고전적 악수렴 가능한 시스템 이론을 확장한다.
• 만약 $ m + u \leq n $이면, 집합 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $의 하우스도르프 차원이 정확히 $ mn $이며, 이 경우 르베그 측도가 전임을 가짐을 증명한다.
• 집합 $ \operatorname{Bad}(m,n) $과 $ \operatorname{Bad}^*(m,n) $ 사이의 하이브리드 디오판틴 대수 approximation 집합의 측도론적 및 차원론적 성질을 명확히 한다.

제안 방법

• 선형 자기동형사상에 의한 환원을 통해 일반 격자 경우를 표준형 $ A = \mathbb{Z}^u \times \{0\} $로 줄여, 하우스도르프 차원과 측도론적 성질을 유지한다.
• 차원 $ (n-u)n $인 르베그 측도가 양수인 행렬 집합 $ \mathcal{X} \subset \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) $를 블록 구조 $ \begin{pmatrix} I_u & 0 \\ X' & X'' \end{pmatrix} $로 구성한다.
• $ S = \operatorname{Bad}(m+u-n, n) $로 정의하며, 이는 $ m+u-n $개 변수에 대한 고전적 악수렴 가능한 집합이며, 슈미트의 정리를 통해 $ \dim S = (m+u-n)n $임을 주장한다.
• 각 $ Y \in S $에 대해 $ X \in \mathcal{X} $인 행렬 $ \begin{pmatrix} X \\ YX \end{pmatrix} $를 구성하고, 절대값에서 요구하는 하한을 만족함을 보인다.
• 하우스도르프 차원의 이중 리프시츠 불변성을 이용하여, $ S $에서의 차원 결과를 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $의 구성된 부분집합으로 이전한다.
• 초입방체로의 덮개를 사용한 모순 증명과 $ \mathcal{X} $에 대한 적분을 통해 섬유의 차원을 유 bounds하고, 만약 $ \dim \Lambda < mn $이면 모순이 발생함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 $ u $인 격자 $ A \subset \mathbb{Z}^n $에 대해 절대값 기준 악수렴 가능한 선형형식의 집합의 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ2 $ m + u \leq n $이면, 집합 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $는 최대 하우스도르프 차원 $ mn $을 가지며, 이 경우 르베그 측도가 전임인가?
• RQ3 $ m + u > n $일 경우, 집합 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $의 차원은 격자 차원 $ u $에 따라 어떻게 변하는가?
• RQ4 [9]에서 제기된 추측, 즉 $ \dim \operatorname{Bad}^*(m,n) = m $ (여기서 $ m < n $)가 올바른가? 이는 혼합 노름의 더 넓은 프레임워크 내에서 성립하는가?
• RQ5 절대값과 정수까지의 거리를 혼합하는 선형변환 하에서 악수렴 가능한 시스템 집합의 차원은 유지되는가?

주요 결과

• 모든 차원 $ u $인 격자 $ A \subset \mathbb{Z}^n $에 대해 $ m + u \leq n $이면, 집합 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $의 하우스도르프 차원은 정확히 $ mn $이며, 이는 최대값이다.
• $ m + u \leq n $이면, 집합 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $는 $ mn $-차원 르베그 측도가 전임이므로 측도론적 의미에서 잔여집합이다.
• 논문 [9]의 추측인 $ \dim \operatorname{Bad}^*(m,n) = m $가 확인되었으며, 이는 저자들이 이전에 제기한 '최종 의견'에서 그 차원이 0일 수 있다는 주장과 모순된다.
• $ m + u > n $이면, 집합 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $는 르베그 측도가 0이다. 이는 히친킨-그로셰프 유형 정리와 일치한다.
• 행렬 형태 $ \begin{pmatrix} X \\ YX \end{pmatrix} $를 가진 집합 $ \Lambda \subset \operatorname{Bad}_A(m,n) $ (여기서 $ X \in \mathcal{X} $, $ Y \in \operatorname{Bad}(m+u-n,n) $)는 전차원 $ mn $을 가짐을 증명한다.
• 하우스도르프 차원의 이중 리프시츠 불변성은 기저의 선형 변화 하에서도 차원 결과가 유지됨을 보장하며, 이는 표준 격자 경우로의 환원을 가능하게 한다.