[논문 리뷰] Badly approximable vectors on a vertical Cantor set

Erez Nesharim|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 31.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 7인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 측도 이론적 및 게임 이론적 기법을 사용하여 수직 칸토어 집합 위에서 가중치가 부여된 디오판틴스 근사 조건을 만족하는 악성 근사 집합의 무한 교차의 공집합이 아님을 증명한다. 이러한 교차는 지수적 거칠기 법칙을 만족하는 측도를 지닌 기초 집합을 지닐 경우 비가산적이며 풀 하우스도르프 차원을 가진다. 이는 이전 결과들에서 가중치에 대해 균일한 양의 하한 조건이 필요로 하지 않는 샤미트의 추측에 대한 확장이다.

ABSTRACT

For $i, j > 0, i + j = 1$, the set of badly approximable vectors with weight $(i, j)$ is defined by $Bad(i, j) = \{(x, y) \in \R^2 : \exists c > 0 \forall q\in\N, \;\; \max\{q||qx||^{1/i}, q||qy||^{1/j} \} > c\}$, where $||x||$ is the distance of $x$ to the nearest integer. In 2010 Badziahin-Pollington-Velani solved Schmidt's conjecture which was stated in 1982, proving that $Bad(i, j) \cap Bad(j, i)$ is nonempty. Using Badziahin-Pollington-Velani's technique with reference to fractal sets, we were able to improve their results: Assume that we are given a sequence $(i_t, j_t)$ with $i_t, j_t > 0, i_t + j_t = 1$. Then, the intersection of $Bad(i_t, j_t)$ over all t is nonempty.

연구 동기 및 목표

• Badziahin-Pollington-Velani의 2010년 샤미트의 추측에 대한 증명을 유한한 교차가 아닌 가중치가 부여된 악성 근사 집합의 무한 교차로 확장한다.
• 이전 결과에서 요구된 liminf min{i_t, j_t} > 0 조건을 제거함으로써 핵심적인 열린 문제를 해결한다.
• 지정된 수직 칸토어 집합과 함께 무한 개의 가중치가 부여된 악성 근사 집합의 교차가 공집합임을 보여주며, 칸토어 집합이 거칠기 법칙을 만족하는 측도를 지닐 경우를 조건으로 한다.
• 이러한 교차가 칸토어 게임 이론의 의미에서 승리 집합임을 보여주며, 이는 풀 하우스도르프 차원을 암시한다.

제안 방법

• 선형 형식을 통한 악성 근사 집합의 이중 표현을 사용하여, Bad_c(i,j)를 |Ax + By + C|가 |A|^{1/i}, |B|^{1/j}의 함수로부터 영리하게 떨어져 있는 (x,y)의 집합으로 정의한다.
• 거칠기 법칙을 만족하는 측도 개념을 적용하여, μ(B(x,r)) ≈ r^β (x가 지지 집합에 속할 때)로 정의함으로써 교차의 차원을 특성화한다.
• 절대 게임과 승리 집합 이론을 활용: Bad(i,j) ∩ Θ 가 R 위에서 절대 승리 집합임을 보이며, 이는 풀 차원성을 암시한다.
• 정규성 조건을 만족하는 간격의 나무 구조적 가족을 구성하여 N-절대 게임에서 앨리스의 승리 전략을 정의한다.
• 절대 승리 집합의 무한 교차 성질을 활용하여, 모든 t에 대해 Bad(i_t,j_t) ∩ C 의 교차가 C 위에서 승리 집합임을 증명한다.
• Jinpeng An의 결과를 활용하여, Bad(i,j) ∩ C 가 비어있으면서도 승리 집합임을 보이고, 이를 게임 이론적 차원 결과와 결합함으로써 풀 차원성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치 (i_t,j_t)가 i_t + j_t = 1 이고 liminf min{i_t,j_t} = 0 인 경우, 무한 교차 ∩_t Bad(i_t,j_t) 는 공집합이 아닌가?
• RQ2 가중치에 대해 균일한 양의 하한 조건이 없이, 무한 개의 Bad(i_t,j_t) 집합과 수직 칸토어 집합의 교차의 차원을 결정할 수 있는가?
• RQ3 거칠기 법칙 측도를 지닌 측도를 지닌 수직 칸토어 집합과의 교차 Bad(i,j) ∩ C 는 여전히 공집합이 아니며, 풀 차원인가?
• RQ4 C 가 수직 칸토어 집합이고 거칠기 법칙 측도를 지닐 경우, 집합 Bad(i,j) ∩ C 는 게임 이론적 의미에서 승리 집합인가?
• RQ5 단지 승리 성질과 측도의 거칠기 법칙 조건만을 사용하여 교차의 풀 차원성을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• C 가 지수 β 를 가진 거칠기 법칙을 만족하는 측도의 지지 집합일 경우, 항상 ∩_t Bad(i_t,j_t) ∩ C 는 공집합이 아님을 보였다.
• 모든 β' < β 에 대해, Bad(i,j) ∩ C 에 지지되는 측도 ν 가 존재하여 지수 > β' 를 만족함을 보였으며, 이는 dim(Bad(i,j) ∩ C) = β 를 암시한다.
• 집합 Bad(i,j) ∩ Θ 는 R 위에서 절대 승리 집합이며, 이는 임의의 가산 교차가 비가산적이며 풀 차원임을 암시한다.
• C 가 거칠기 법칙 측도를 지닐 경우, 교차 ∩_t Bad(i_t,j_t) ∩ C 는 C 위에서 승리 집합이며, 따라서 dim(C) 와 동일한 풀 하우스도르프 차원을 가진다.
• liminf 조건 min{i_t,j_t} 에 대한 요구 조건 없이 결과가 성립하므로, Badziahin-Pollington-Velani가 남긴 질문을 부분적으로 해결한다.
• 교차의 풀 차원성은 승리 집합 성질과 거칠기 법칙 측도를 지닌 메트릭 공간에서의 승리 집합의 풀 차원 성질을 통해 확립된다.