[논문 리뷰] Bakry-Émery conditions on almost smooth metric measure spaces

Shouhei Honda|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 19.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 거의 스무스한 컴act한 미터릭 측도 공간이 Bakry-Émery 조건 $\operatorname{BE}(K,N)$를 만족하기 위한 충분조건을 확립한다. 이는 두 개의 닫힌 점이 있는 리만다이안 다양체의 기저 점에서 접합된 공간을 이용하여, Bakry-Émery 의미에서의 하한 리치 곡률을 가진 공간 중 국소 차원이 일정하지 않은 첫 번째 예를 구성한다. 이 예는 $\operatorname{BE}(K,N)$ 조건이 RCD 조건이나 일정한 국소 차원을 함의하지는 않음을 보여준다.

ABSTRACT

In this short note, we give a sufficient condition for almost smooth compact metric measure spaces to satisfy the Bakry-Émery condition $BE (K, N)$. The sufficient condition is satisfied for the glued space of any two (not necessary same dimensional) closed pointed Riemannian manifolds at their base points. This tells us that the $BE$ condition is strictly weaker than the $RCD$ condition even in this setting, and that the local dimension is not constant even if the space satisfies the $BE$ condition with the coincidence between the induced distance by the Cheeger energy and the original distance. In particular, the glued space gives a first example with a Ricci bound from below in the Bakry-Émery sense, whose local dimension is not constant. We also give a necessary and sufficient condition for such spaces to be $RCD(K, N)$ spaces.

연구 동기 및 목표

• 거의 스무스한 컴act한 미터릭 측도 공간이 Bakry-Émery 조건 $\operatorname{BE}(K,N)$를 만족하기 위한 충분조건을 규명하는 것.
• Cheeger 거리가 원래 거리와 일치할 때조차도 $\operatorname{BE}(K,N)$ 조건이 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 조건을 함의하지는 않음을 보여주는 것.
• 국소 차원이 일정하지 않은 $\operatorname{BE}(K,N)$ 조건을 만족하는 공간의 첫 번째 예를 구성하여, 국소 차원이 Bakry-Émery 조건 하에서 보존되지 않음을 보여주는 것.
• 이러한 공간이 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 조건을 만족하기 위한 필요 및 충분조건을 제공하는 것.
• Sobolev에서 Lipschitz 성질의 실패로 인해 $\operatorname{BE}(K,N)$를 만족하면서도 $\operatorname{RCD}(K,N)$를 만족하지 못하는 공간을 제시함으로써 $\operatorname{BE}(K,N)$와 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 사이의 차이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 기저 점에서 접합된 두 개의 닫힌 점이 있는 리만다이안 다양체 $M_1^{m_1} * M_2^{m_2}$ 의 접합 공간을 분석하며, 표준 측도를 갖춘다.
• 부드러운 함수 $f$ 에 대해 약한 형태의 부등식 $\frac{1}{2}\Delta|\nabla f|^2 \geq \frac{(\Delta f)^2}{N} + \langle \nabla \Delta f, \nabla f \rangle + K|\nabla f|^2$ 를 통해 Bakry-Émery 조건 $\operatorname{BE}(K,N)$ 를 적용한다.
• 접합 공간이 리치 곡률 하한 $K = \min\{\inf \mathrm{Ric}_{M_1^{m_1}}^{g_1}, \inf \mathrm{Ric}_{M_2^{m_2}}^{g_2}\}$ 과 차원 상한 $N = \max\{m_1, m_2\}$ 을 상속받는다는 사실을 이용한다.
• 접합 공간에서 Cheeger 거리 $\mathsf{d}_{\sf Ch}$ 가 원래 거리 $\mathsf{d}$ 와 일치함을 증명하여 $\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ 를 만족함을 보인다.
• Sobolev에서 Lipschitz 성질이 접합 공간에서 실패함을 보여, 이는 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 를 만족하기 위해 필수적이므로, 이 공간이 어떤 $K, N$ 에 대해서도 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 공간이 아니라는 것을 증명한다.
• L^2-함수 위에서 스펙트럼 이론을 사용하며, 라플라스 연산자의 고유함수 $\varphi_i^Y$ 와 Rayleigh 몫을 이용하여 $H^{1,2}$-공간에서의 수렴성과 노름을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bakry-Émery 조건 $\operatorname{BE}(K,N)$ 는 국소 차원이 일정하지 않은 미터릭 측도 공간에서 만족될 수 있는가?
• RQ2 Cheeger 거리와 원래 거리가 일치하면 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 조건이 성립하는가?
• RQ3 Sobolev에서 Lipschitz 성질에 실패하는 $\operatorname{BE}(K,N)$ 와 $\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ 를 만족하는 공간이 존재하는가?
• RQ4 거의 스무스한 미터릭 측도 공간이 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 조건을 만족하기 위한 필요 및 충분조건은 무엇인가?
• RQ5 다른 차원을 가진 두 리만다이안 다양체의 접합 공간이 $\operatorname{BE}(K,N)$ 를 만족하면서도 Sobolev에서 Lipschitz 성질에 실패할 수 있는가?

주요 결과

• 기저 점에서 접합된 임의의 두 개의 닫힌 점이 있는 리만다이안 다양체 $M_1^{m_1} * M_2^{m_2}$ 의 접합 공간은 $K = \min\{\inf \mathrm{Ric}_{M_1^{m_1}}^{g_1}, \inf \mathrm{Ric}_{M_2^{m_2}}^{g_2}\}$ 과 $N = \max\{m_1, m_2\}$ 에 대해 $\operatorname{BE}(K, \max\{m_1, m_2\})$ 를 만족한다.
• 접합 공간에서 Cheeger 거리 $\mathsf{d}_{\sf Ch}$ 는 원래 거리 $\mathsf{d}$ 와 일치하므로 $\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ 가 성립한다.
• 접합 공간은 Sobolev에서 Lipschitz 성질에 실패하므로, 어떤 $K, N$ 에 대해서도 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 공간이 아니다.
• 이는 Bakry-Émery 의미에서 리치 곡률 하한을 가진다 하더라도 국소 차원이 일정하지 않은 $\operatorname{BE}(K,N)$ 조건을 만족하는 공간의 첫 번째 예이다.
• 이 공간은 기대되는 형태로 Bishop-Gromov 부등식을 만족하지 못하므로, $\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ 를 만족하는 $\operatorname{BE}(K,N)$ 는 체적 성장 제어를 함의하지는 않는다.
• 이러한 접합 공간이 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 를 만족하기 위한 필요 및 충분조건은 Sobolev에서 Lipschitz 성질의 성립이며, 일반적인 접합 경우에서는 두 다양체가 같은 차원을 가지며 추가적인 정규성 조건을 만족할 때에만 성립한다.