[논문 리뷰] Balanced model order reduction for systems depending on a parameter

Carles Batlle, Néstor Roqueiro|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 27.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 불확실한 매개변수를 가진 선형 시간 불변 시스템을 대상으로, 매개변수에 대해 두 차수까지 보정을 포함한 멱급수 전개를 사용하는 매개변수 인식형 균형 모델 축소 방법을 제시한다. 이 방법은 시스템의 구조와 안정성을 유지하면서도 축소된 모델에 매개변수를 명시적으로 포함함으로써 다양한 매개변수 값 범위에서의 강건한 제어기 설계를 가능하게 하며, 분석적으로 유도된 새로운 두 차수의 특이부공간 보정을 제공한다.

ABSTRACT

We provide an analytical framework for balanced realization model order reduction of linear control systems which depend on an unknown parameter. Besides recovering known results for the first order corrections, we obtain explicit novel expressions for the form of second order corrections for singular values and singular vectors. The final result of our procedure is an order reduced model which incorporates the uncertain parameter. We apply our algorithm to the model order reduction of a linear system of masses and springs with parameter dependent coefficients.

연구 동기 및 목표

• 불확실한 계수를 가진 선형 시스템의 매개변수 의존성을 유지하는 모델 축소 프레임워크를 개발하는 것.
• 표준 균형 절단 기법의 한계를 극복하기 위해, 수치적 매개변수 값이 필요로 하고 기호적 매개변수 의존성을 상실하는 문제를 해결하는 것.
• 매개변수 변화에 따른 특이값과 특이부공간에 대한 일阶 및 이阶 보정의 해석적 표현을 유도하는 것.
• 매개변수를 다항식 형태로 명시적으로 포함하는 축소된 순서 모델을 구성하여 매개변수 범위에서의 제어기 설계에 활용할 수 있도록 하는 것.
• 10개의 질량과 매개변수에 의존하는 스프링 및 질량 계수를 가진 20차 상태 질량-스프링 시스템에 대해 방법을 검증하는 것.

제안 방법

• 불확실한 매개변수에 대한 제어 가능성과 관측 가능성 그람يان을 멱급수 전개로 확장하고, 라플라스 방정식을 점진적으로 풀이한다.
• 그람ian의 제곱근을 멱급수 전개를 통해 계산하여 균형 전환 행렬을 도출한다.
• 균형 시스템에 대해 특이값 분해(SVD)를 적용하고, 특이값과 특이부공간에 대한 명시적 두 차수 보정을 유도한다.
• 균형 시스템을 축소 순서로 절단하여 매개변수에 대해 최대 두 차수까지 다항식 의존성을 유지한다.
• MATLAB에서 알고리즘을 구현하고, 10개의 질량과 매개변수에 의존하는 스프링 및 질량 계수를 가진 20차 상태 질량-스프링 시스템에서 검증한다.
• Bode 도표를 사용하여 정확도를 제로차수, 일차 및 이차 다항식 근사치와 정확한 축소 모델 간에 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균형 모델 축소가 기호적이고 불확실한 매개변수를 가진 시스템에 확장 가능할 수 있는가? 이때 안정성과 시스템 구조는 유지되는가?
• RQ2 매개변수 변화에 따른 특이값과 특이부공간에 대한 일阶 및 이차 보정의 해석적 표현은 무엇인가?
• RQ3 매개변수에 대한 다항식 근사의 차수 증가에 따라 축소된 순서 모델의 정확도는 어떻게 향상되는가?
• RQ4 유도된 매개변수 의존 축소 모델은 다양한 매개변수 값 범위에서 효과적으로 제어기 설계에 활용될 수 있는가?
• RQ5 매개변수 의존 축소 모델에서 계산 비용과 근사 오차 사이의 상충 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 이 방법은 불확실한 매개변수를 다항식 형태로 명시적으로 포함하는 축소된 순서 모델을 성공적으로 계산하여 매개변수 의존 제어기 설계를 가능하게 한다.
• 이번 연구에서 처음으로 특이부공간에 대한 두 차수 보정을 해석적으로 도출하였으며, 이는 SVD 섭동 이론 분야에 새로운 기여를 한다.
• 매개변수에 의존하는 계수를 가진 질량-스프링 시스템에서, 이차 근사치는 일차 또는 제로차수 근사치보다 정확한 축소 모델과 Bode 도표에서 훨씬 더 높은 일치도를 보였다.
• 제로차수 근사치는 고정된 매개변수 값 m=0에 해당하며, 고차수 항이 매개변수 범위 전체에서 정확도를 향상시킨다.
• 시뮬레이션 결과, 다항식 근사에 의한 절단 오차는 차수 증가에 따라 감소하는 경향을 보이며, 이는 근사 품질 향상을 시사한다.
• 이 방법은 안정된 시스템에 국한되며, 현재 전체 근사 체인에 대한 오차 한계를 제공하지는 않지만, 시뮬레이션 결과 고차수 항으로 갈수록 수렴하는 경향을 보인다.