[논문 리뷰] Balanced Truncation Model Order Reduction For Quadratic-Bilinear Control Systems

Peter Benner, Pawan Goyal|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 29.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 36인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 볼테라 급수와 힐버트 수반 시스템에서 유도된 대수적 그람형을 도입하여 대규모 2차 비선형 제어 시스템에 대한 균형자unction 축소 방법을 제안한다. 이 방법은 안정성과 동역학을 유지하면서 효과적인 축소를 가능하게 하며, 피츠휴-나구모 시스템과 같은 비선형 PDE에서 한계 주기(한계주기)를 포착하는 데 있어 순간 일치 방법보다 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

We discuss balanced truncation model order reduction for large-scale quadratic-bilinear (QB) systems. Balanced truncation for linear systems mainly involves the computation of the Gramians of the system, namely reachability and observability Gramians. These Gramians are extended to a general nonlinear setting in Scherpen (1993), where it is shown that Gramians for nonlinear systems are the solutions of state-dependent nonlinear Hamilton-Jacobi equations. Therefore, they are not only difficult to compute for large-scale systems but also hard to utilize in the model reduction framework. In this paper, we propose algebraic Gramians for QB systems based on the underlying Volterra series representation of QB systems and their Hilbert adjoint systems. We then show their relations with a certain type of generalized quadratic Lyapunov equation. Furthermore, we present how these algebraic Gramians and energy functionals relate to each other. Moreover, we characterize the reachability and observability of QB systems based on the proposed algebraic Gramians. This allows us to find those states that are hard to control and hard to observe via an appropriate transformation based on the Gramians. Truncating such states yields reduced-order systems. Additionally, we present a truncated version of the Gramians for QB systems and discuss their advantages in the model reduction framework. We also investigate the Lyapunov stability of the reduced-order systems. We finally illustrate the efficiency of the proposed balancing-type model reduction for QB systems by means of various semi-discretized nonlinear partial differential equations and show its competitiveness with the existing moment-matching methods for QB systems.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시스템에서 상태에 의존하는 그람형의 계산이 복잡하여 대규모 2차 비선형 제어 시스템에 대한 효과적인 균형자unction 축소 방법이 부족한 데 대한 문제를 해결한다.
• 볼테라 급수 표현과 힐버트 수반 연산자를 기반으로 한 QB 시스템용 대수적 그람형을 개발한다.
• 제안된 그람형과 에너지 함수, 시스템의 도달 가능성/관측 가능성 간의 관계를 수립한다.
• 모델 차원 축소에서 계산 효율성을 향상시키기 위해 그람형의 잘린 형태를 도입한다.
• 반디케이션된 비선형 PDE의 반산화된 이산화 시스템에 대한 수치 실험을 통해 축소된 차원 시스템의 안정성과 정확성을 입증한다.

제안 방법

• 볼테라 급수 표현의 핵함수와 관련된 힐버트 수반 시스템을 이용하여 QB 시스템의 대수적 그람형을 유도한다.
• 일반화된 2차 리아푸노프 방정식의 해로 그람형을 정식화하여 비선형 하미르톤-하우지 방정식을 풀지 않고도 대수적 계산이 가능하도록 한다.
• 도달 가능성과 관측 가능성의 에너지 함수를 정의하고, 제안된 그람형의 이차형식과 연결한다.
• 계산 비용을 줄이면서도 핵심 시스템 성질을 유지하기 위해 그람형의 잘린 형태를 도입한다.
• 제안된 그람형을 사용하여 QB 시스템에 대해 제곱근 기반 균형자unction 축소를 적용함으로써 안정된 축소된 차원 모델을 가능하게 한다.
• 버거스 방정식과 피츠휴-나구모 방정식을 포함한 반산화된 비선형 PDE에 대해 방법을 검증하며, 순간 일치 기법과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 시스템에서 상태에 의존하는 그람형의 계산이 불가능한 상황에서, 균형자unction 축소를 2차 비선형 제어 시스템으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 제안된 대수적 그람형과 QB 시스템의 도달 가능성 및 관측 가능성 에너지 함수 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 제안된 그람형은 QB 시스템의 도달 가능성과 관측 가능성 특성을 어떻게 기술하며, 모델 축소에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 대규모 모델 차원 축소 맥락에서 그람형의 잘린 형태가 가지는 장점은 무엇인가?
• RQ5 제안된 균형자unction 축소 방법은 순간 일치 방법이 실패할 경우에도 복잡한 동역학적 특성, 특히 한계 주기(한계주기)를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 QB 시스템용 대수적 그람형은 볼테라 급수와 힐버트 수반 시스템에서 유도되어 비선형 상태에 의존하는 그람형의 계산 가능 대체 방법을 제공한다.
• 그람형은 일반화된 2차 리아푸노프 방정식을 만족하여 효율적인 수치 계산이 가능하고, 모델 축소 프레임워크에 쉽게 통합될 수 있다.
• 도달 가능성과 관측 가능성의 에너지 함수가 제안된 그람형의 이차형식과 동일시됨을 입증하여 물리적 해석의 타당성을 확보한다.
• 잘린 그람형은 계산 비용을 크게 줄이며 정확도를 유지하면서 안정된 축소된 차원 모델을 가능하게 한다.
• 피츠휴-나구모 시스템의 경우, 균형자unction 축소는 한계 주기 동역학을 성공적으로 포착하지만, 선형 $ ilde{H}_2$ 최적 보간 기반의 순간 일치 방법은 이를 재현하지 못한다.
• 균형자unction을 통해 차원 $ ilde{n}=20$의 축소된 차원 시스템이 원래 시스템의 행동, 특히 한계 주기까지 정확히 재현하며, 순간 일치 방법은 조정된 차원 조차도 안정성이나 정확도를 확보하지 못한다.