[논문 리뷰] Balanced Truncation Model Reduction for Lifted Nonlinear Systems

Boris Kramer, Karen Willcox|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 28.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 보조 변수를 사용하여 시간에 따라 변하는 입력과 불확실한 입력을 가진 비선형 시스템을 2차형선형(Quadratic-Bilinear, QB) 형태로 올리기 전에, 먼저 이 시스템을 다루기 위해 균형자unction 모델 축소 방법을 제안한다. 이 방법은 올린 시스템의 행렬에서 0 고유값 문제를 해결하기 위해 인위적인 안정화를 도입함으로써, 기존의 POD-DEIM보다 더 높은 정확도를 보이는 효율적인 균형자unction 축소를 가능하게 한다. 이는 테이블 반응기 모델을 통해 검증되었으며, 훈련 데이터가 열악한 상황에서도 성능이 뛰어나다.

ABSTRACT

We present a balanced truncation model reduction approach for a class of nonlinear systems with time-varying and uncertain inputs. First, our approach brings the nonlinear system into quadratic-bilinear~(QB) form via a process called lifting, which introduces transformations via auxiliary variables to achieve the specified model form. Second, we extend a recently developed QB balanced truncation method to be applicable to such lifted QB systems that share the common feature of having a system matrix with zero eigenvalues. We illustrate this framework and the multi-stage lifting transformation on a tubular reactor model. In the numerical results we show that our proposed approach can obtain reduced-order models that are more accurate than proper orthogonal decomposition reduced-order models in situations where the latter are sensitive to the choice of training data.

연구 동기 및 목표

• 훈련 데이터가 잘못 선택되거나 존재하지 않을 경우, 고유직교분해(POD)의 비선형 모델 축소에서의 한계를 해결하기 위해.
• 궤적 기반 훈련 데이터에 의존하지 않는, 시간에 따라 변하는 입력과 불확실한 입력을 가진 비선형 시스템을 위한 모델 축소 프레임워크를 개발하기 위해.
• 대규모 비선형 시스템에서 상태에 의존하는 균형자unction 변환의 계산 비용이 과도한 문제를 해결하기 위해 상태에 독립적인 그라미안을 사용하기 위해.
• 0 고유값을 가진 시스템 행렬을 지닌 올린 2차형선형 시스템에 대해 균형자unction 축소를 가능하게 하기 위해.
• 모든 비용이 많이 드는 행렬 연산을 올린 차원이 아닌 원래 시스템 차원에서 수행함으로써 계산적으로 효율적인 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 비선형 시스템을 보조 변수를 사용하여 2차형선형(QB) 형태로 변환하기 위해 다단계 올림 변환을 적용하기 위해.
• 올린 시스템 행렬의 0 고유값으로 인한 불안정성을 다루기 위해 인위적인 안정화 파라미터를 도입하기 위해.
• QB 시스템에 적합한 절단된 그라미안 기반 균형자unction 축소 방법을 올린 프레임워크에 적응시켜 계산 효율성을 확보하기 위해.
• 올린 변수의 정의를 활용해 원래 시스템 차원에서 균형자unction을 수행할 수 있는 변환을 유도함으로써 고차원 계산을 피하기 위해.
• 올린 QB 시스템의 절단된 그라미안을 사용하여 축소된 차원 모델(Rom)을 구성하기 위해.
• 모든 고비용 행렬 연산을 올린 차원이 아닌 원래 시스템 차원에서 수행함으로써 계산 가능성을 유지하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이론적 미분방정식이 알려진 비선형 시스템에 대해 시간에 따라 변하는 입력과 불확실한 입력이 존재할 경우, 균형자unction 축소를 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 비선형 시스템을 QB 형태로 변환하면서도 구조적 특성을 유지하기 위해 올림 과정을 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ3 0 고유값을 가진 시스템 행렬을 지닌 올린 QB 시스템에 균형자unction 축소를 적용하기 위해 어떤 수정이 필요한가?
• RQ4 훈련 데이터가 노이즈가 있거나 잘못 선택되었을 경우, 제안된 방법이 POD-DEIM보다 정확도 면에서 뛰어나게 성능을 발휘할 수 있는가?
• RQ5 이 방법에서 도입된 인위적 안정화 파라미터가 축소된 차원 모델의 정확성과 안정성을 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 QB-균형자unction 축소(QB-BT) 방법은 훈련 데이터가 열악하거나 노이즈가 있을 경우, 항상 POD-DEIM 모델보다 더 정확한 축소된 차원 모델을 생성한다.
• 노이즈가 있는 스냅샷이 있는 케이스 1에서, r=4일 때 QB-BT ROM의 출력 오차는 6.51×10⁻⁴이었고, POD-DEIM은 1.47×10⁻³이었으며, 이는 오차가 두 배수 수준으로 향상된 것이다.
• 훈련 및 예측의 초기 조건이 다른 케이스 4에서는, r=20일 때 QB-BT ROM의 출력 오차는 3.66×10⁻⁴이었고, POD-DEIM은 4.38×10⁻⁴이었으며, 양측 모두 진폭 예측에서 어려움을 겪었음에도 불구하고 QB-BT가 더 뛰어난 성능을 보였다.
• QB-BT 방법은 일정, 진동, 감쇠 입력과 같은 다양한 입력 시나리오에서 뛰어난 강건성을 보였으며, 일관된 오차 성능을 유지했다.
• 모든 행렬 연산을 올린 차원이 아닌 원래 시스템 차원에서 수행함으로써 계산 효율성이 유지되었으며, 이는 높은 비용이 드는 올린 공간에서의 계산을 피하는 데 기여했다.
• 수치 결과는 QB-BT가 POD-DEIM이 훈련 데이터 품질에 민감한 상황에서 특히 유리하다는 것을 확인하며, 실용적인 공학 응용 분야에서 더 신뢰할 수 있는 대안이 될 수 있음을 시사한다.