[논문 리뷰] Balayage of measures and subharmonic functions on a system of rays. I. Classic case

Б. Н. Хабибуллин, A. V. Khasanova|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 03.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소평면에서 공통의 원점을 가진 射선들의 집합에 대해 고전적 발사이지(바레주지)를 측도와 조화함수의 하모닉 함수에 대해 개발한다. 이는 사각형 외부에서 조화적이면서도 射선 위에서 원래 함수와 일치하는 하모닉 함수를 구성하는 방법을 확립하여, 정규적인 성장의 새로운 기준과 비볼록 비유계 영역에서 지수 체계의 완전성 조건을 제공한다.

ABSTRACT

We develop classical balayage (sweeping) measures and subharmonic functions on the ray system $S$ with a general origin on the complex plane $\mathbb C$. This allows for a subharmonic function $v$ on $\mathbb C$ to construct also a subharmonic function on $\mathbb C$ that is harmonic outside $S$ and coincides with $v$ on $S$. We give applications to the relationship between the growth of an entire function on $S$ and the distribution of its zeros, the conditions of complete regular growth of entire and subharmonic functions on the ray system, to the problems of incompleteness of exponential systems in the spaces of holomorphic functions in nonconvex unbounded open sets narrowing near infinity. This first part of our work contains the necessary preparatory material for the construction of a new type of finite genus balayage on $S$ in the second part.

연구 동기 및 목표

• 공통의 원점을 가진 복소평면 내 射선들의 집합에 대해 측도와 하모닉 함수에 대한 고전적 발사이지 기법을 개발하는 것.
• 사각형 외부에서는 조화적이며, 射선 위에서는 원래 함수와 일치하는 하모닉 함수를 구성하는 것.
• 유사한 射선 집합에서 유한 차수의 일반화된 발사이지를 위한 기초를 마련하는 것.
• 제로 분포와 성장 측도를 바탕으로 정수 함수와 하모닉 함수의 정규 성장에 대한 새로운 기준을 설정하는 것.
• 비볼록 비유계 영역에서 정수 함수 공간 내 지수 체계의 완전성 조건을 조사하는 것.

제안 방법

• 비유계이고 비볼록인 복소평면 내 射선 집합에 적응된 고전적 발사이지 기법을 활용한다.
• 성장과 경계 행동을 분석하기 위해 조화 측도와 포아송 적분 표현을 적용한다.
• 리에스 표현 정리를 활용하여 하모닉 함수를 그에 관련된 측도를 통해 표현한다.
• 블라시케 조건과 린델뢰프 조건을 射선 집합의 맥락에서 도입하고 분석한다.
• 반복 적분과 측도 이론적 구성 기법을 사용하여 발사이지를 射선 집합으로 일반화한다.
• 이론을 적용하여 정수 함수 공간 내 성장의 정규성과 지수 체계의 완전성 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 복소평면 내 공통의 원점을 가진 射선 집합에 대해 고전적 발사이지를 확장할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 복소평면 상의 하모닉 함수가 射선 집합 외부에서는 조화적이면서도 射선 위에서는 그 값이 유지되도록 변환될 수 있는가?
• RQ3 정수 함수가 射선 집합에서 완전히 정규적인 성장을 보이기 위한 필수 및 필요조건은 무엇인가?
• RQ4 정수 함수의 제로 분포는 그 함수의 射선 집합에서의 성장과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 비볼록 비유계 영역에서 정수 함수 공간 내 지수 체계의 완전성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• C 내의 射선 집합에 대해 고전적 발사이지 방법이 성공적으로 확장되었으며, 이는 사각형 외부에서 조화적이며 원래 함수와 일치하는 하모닉 함수를 구성할 수 있게 한다.
• 논문은 제로 또는 관련 측도의 분포를 바탕으로 하모닉 함수와 정수 함수의 완전히 정규적인 성장 조건을 설정한다.
• 블라시케 조건이 하모닉 함수의 관점에서 재구성되어, 관련 정수 함수의 존재를 위한 필요 및 충분 조건을 제공한다.
• 발사이지 기법을 활용하여 비볼록 비유계 영역에서 정수 함수 공간 내 지수 체계의 완전성 조건을 도출한다.
• 이 방법은 정수 함수의 지표도가 지수 유형인 경우에 대해 루벨-말리아빈 정리의 최소 폭에 대한 일반화를 완전히 가능하게 한다.
• 적절한 성장 및 측도 조건 하에서 $ u + \log|g| $ 가 하모닉 함수이자 영 유형인 비영 정수 함수 $ g $ 가 존재함을 이론적으로 뒷받침한다.