[논문 리뷰] Ballot tilings and increasing trees

Keiichi Shigechi|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 18.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 식물 평면 트리, 헤르미트 역사, 일반화된 완전 매칭을 사용하여 유형 B로의 일반화된 다이크 타일링의 생성함수에 대한 이항 증명을 수립한다. 하부 경로가 고정된 밸롯 타일링의 생성함수는 인수분해되며, 카즈단–류스트리그 다항식과 양자 정수와 연결되며, 나무 기반의 조합 구조를 통해 기존의 다이크 타일링 결과를 밸롯 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We study enumerations of Dyck and ballot tilings, which are tilings of a region determined by two Dyck or ballot paths. We give bijective proofs to two formulae of enumerations of Dyck tilings through Hermite histories. We show that one of the formulae is equal to a certain Kazhdan--Lusztig polynomial. For a ballot tiling, we establish formulae which are analogues of formulae for Dyck tilings. Especially, the generating functions have factorized expressions. The key tool is a planted plane tree and its increasing labellings. We also introduce a generalized perfect matching which is bijective to an Hermite history for a ballot tiling. By combining these objects, we obtain various expressions of a generating function of ballot tilings with a fixed lower path.

연구 동기 및 목표

• 다이크 타일링에 대한 두 개의 추측된 공식을 유형 BI 및 BIII의 밸롯 타일링으로 일반화한다 — 기존에 김에 의해 증명된 바 있다.
• 밸롯 타일링, 헤르미트 역사, 일반화된 완전 매칭 사이의 이항 연결을 수립한다.
• 하부 경로가 고정된 밸롯 타일링의 생성함수가 인수분해됨을 보이며, 다이크 타일링의 인수분해 결과를 확장한다.
• 나무 레이블링을 통한 카즈단–류스트리그 다항식과 양자 정수와의 연결을 통해 밸롯 타일링 생성함수를 연결한다.
• 재귀 관계와 곱 공식을 포함한 여러 동치 표현을 제공하여 밸롯 타일링의 생성함수를 다각도로 표현한다.

제안 방법

• 증명의 중심 조합 모델로 증가 레이블링을 가진 식물 평면 트리(유형 라스코우–슐츠버거)를 사용한다.
• 밸롯 타일링을 위한 헤르미트 역사를 도입하고, 헤르미트 역사와 일반화된 완전 매칭 사이의 이항을 구성한다.
• 레이블링에 대한 차수 함수(예: deg₁₀, deg₁₁)를 정의하여 생성함수의 가중치를 표현한다.
• 트리 분해에서 유도된 재귀 관계를 적용하여 생성함수를 명시적으로 해결한다.
• 트리 레이블링의 역전위 전위어를 사용하여 역전치 통계를 해석하고 생성함수와 연결한다.
• 양자 정수와 (1+q^i) 항을 포함하는 곱 공식을 통해 생성함수의 인수분해를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다이크 타일링에 대한 두 개의 추측된 공식은 어떻게 유형 BI 및 BIII의 밸롯 타일링으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 하부 경로가 고정된 밸롯 타일링의 생성함수의 조합적 해석은 무엇인가?
• RQ3 밸롯 타일링은 카즈단–류스트리그 다항식과 양자 정수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 밸롯 타일링의 생성함수는 인수분해 및 재귀 기반 표현을 포함한 여러 동치 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ5 일반화된 완전 매칭과 헤르미트 역사는 밸롯 타일링의 구조를 어떻게 표현하는가?

주요 결과

• 하부 경로가 고정된 유형 BIII의 밸롯 타일링 생성함수는 다이크 타일링 생성함수와 추가 인수의 곱으로 분해된다.
• 하부 경로가 고정된 유형 BI의 밸롯 타일링 생성함수는 정리 7.4에서 인수분해됨을 보였다.
• 유형 BI의 밸롯 타일링 생성함수는 트리의 레이블링에 대한 합으로 표현되며, q^{deg₁₁(L)}의 가중치와 (1+q^i) 항의 곱이 곱해진다.
• 레이블링과 밸롯 타일링 사이의 이항을 수립하여, 다이크 타일링 스트립(DTS) 구성의 일반화를 이룬다.
• 생성함수가 역전위 전위어의 합으로 표현되며, q^{inv(σ)}에 해당함을 보여, 역전치 통계와의 연결을 확인한다.
• 생성함수는 명시적으로 해결된 재귀 관계를 만족하며, 곱 형태를 포함한 여러 동치 표현을 제공한다.