[논문 리뷰] Banach spaces with no proximinal subspaces of codimension 2

C. J. Read|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 30.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아이반 싱어가 제기한 오랫동안 미해결된 추측에 반박하기 위해, 유한 코디멘션 $ n \geq 2 $ 에서도 프록시미날 부분공간을 가질 수 없는 바나흐 공간 $(c_0, \|\cdot\|)$을 정교하게 설계된 노름을 통해 구성한다. 유리수 수열의 열과 $\ell^1$-함수들을 이용한 희박한 교란을 통해, 노름의 가우스 도함수 구조가 유한 코디멘션 부분공간으로의 최소거리 사영의 존재를 방지함을 보이며, 이는 오랜 기간 동안 남아있던 아이반 싱어의 추측에 대한 반례를 제공한다.

ABSTRACT

The classical theorem of Bishop-Phelps asserts that, for a Banach space X, the norm-achieving functionals in X* are dense in X*. Bela Bollobas's extension of the theorem gives a quantitative description of just how dense the norm-achieving functionals have to be: if (x,f) is in X x X* with ||x||=||f||=1 and |1-f(x)|< h^2/4 then there are (x',f') in X x X* with ||x'||= ||f'||=1, ||x-x'||, ||f-f'||< h and f'(x')=1. This means that there are always "proximinal" hyperplanes H in X (a nonempty subset E of a metric space is said to be "proximinal" if, for x not in E, the distance d(x,E) is always achieved - there is always an e in E with d(x,E)=d(x,e)); for if H= ker f (f in X*) then it is easy to see that H is proximinal if and only if f is norm-achieving. Indeed the set of proximinal hyperplanes H is, in the appropriate sense, dense in the set of all closed hyperplanes H in X. Quite a long time ago [Problem 2.1 in his monograph "The Theory of Best approximation and Functional Analysis" Regional Conference series in Applied Mathematics, SIAM, 1974], Ivan Singer asked if this result generalized to closed subspaces of finite codimension - if every Banach space has a proximinal subspace of codimension 2, for example. In this paper I show that there is a Banach space X such that X has no proximinal subspace of finite codimension n>1. So we have a converse to Bishop-Phelps-Bollobas: a dense set of proximinal hyperplanes can always be found, but proximinal subspaces of larger, finite codimension need not be.

연구 동기 및 목표

• 아이반 싱어가 제기한 바나흐 공간에서 유한 코디멘션 부분공간의 존재성에 관한 오랫동안 미해결된 문제를 해결하기 위해.
• 비숍-플레티스-볼로바스 정리에 따르면 프록시미날 하이퍼플레인(코디멘션 1)은 항상 조밀하다는 것을 보여주지만, 이는 코디멘션 ≥2에서는 성립하지 않음을 보여주기 위해.
• 특정 바나흐 공간 $(c_0, \|\cdot\|)$을 비표준 노름으로 구성하여, 코디멘션 ≥2에서의 프록시미날리티를 차단하기 위해.
• 기하학적·해석학적 노름 구조—희박하고 유리수 기반의 교란을 통해 유도된 것—이 유한 코디멘션 부분공간으로의 최소 사영의 존재를 방지함을 보여주기 위해.
• 프록시미날 하이퍼플레인의 조밀성과 높은 코디멘션에서의 이러한 부분공간의 부재 사이에 명확한 대비를 제시하기 위해.

제안 방법

• 유한 코디멘션 부분공간의 존재를 방지하기 위해, $c_0$ 위에 가중치가 부여된 $\ell^1$-세미노름의 합으로 새로운 노름을 정의한다: $\|x\| = \|x\|_0 + \sum_{k=1}^\infty 2^{-a_k^2} |\langle x, u_k - e_{a_k} \rangle|$, 여기서 $u_k \in c_{00}(\mathbb{Q})$ 이고 $a_k$ 는 성장 조건을 만족시킨다.
• 교란 항목들이 희박하고 급격히 증가하도록 보장하여 $\|x\| \leq 3\|x\|_0$ 가 되도록 하여, $c_0$의 구조를 유지하면서 동시에 방향성의 비연속성을 유도한다.
• 노름의 미분 가능성과 Gâteaux 도함수 분석을 통해, 유한 코디멘션 부분공간의 점들에서 방향성의 부연속성이 발생함을 활용하여, 최소거리 사영이 존재하지 않음을 보인다.
• 유한한 수열의 함수들 $\psi_r$ 을 구성하고, 이들을 $\ell^1$-요소 $z_r$ 으로 근사하여 후보 최소 벡터와의 내적에서 부호 패턴을 유도한다.
• 함수 공간 $\Phi_0$ 의 이미지를 분석하기 위해 몫 사상 $\theta: \Phi_0 \to \ell^\infty(A)/c_0(A)$ 를 적용하여, $\theta\Phi_0$ 가 반드시 $N+1$ 개의 선형 독립 벡터를 포함해야 함을 보인다.
• 결론적으로 $\dim \theta\Phi_0 \geq N+1$ 이지만 $\dim \Phi_0 = N$ 이므로 모순을 도출함으로써, 코디멘션 $N \geq 2$ 인 프록시미날 부분공간 $H$ 는 존재할 수 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 바나흐 공간이 유한 코디멘션 $n \geq 2$ 에서 프록시미날 부분공간을 갖는가?
• RQ2 비숍-플레티스-볼로바스 정리에서 유도된 프록시미날 하이퍼플레인의 조밀성 결과가 높은 코디멘션으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 코디멘션 $n \geq 2$ 에서도 어떤 부분공간이 프록시미날이 아니게 되는 바나흐 공간이 존재하는가?
• RQ4 노름의 어떤 구조적 성질이 유한 코디멘션에서의 프록시미날리티를 방해하는가?
• RQ5 비연속적이며 희박한 $c_0$ 노름의 교란이 코디멘션 1을 초월해 프록시미날리티를 차단할 수 있는가?

주요 결과

• 구성된 바나흐 공간 $(c_0, \|\cdot\|)$ 은 유한 코디멘션 $n \geq 2$ 에서 프록시미날 부분공간을 가지지 않으며, 이는 싱어의 추측에 대한 반례를 제공한다.
• 노름은 희박하고 급격히 증가하는 수열 $a_k$ 에 대해 $\ell^1$-세미노름의 합으로 정의되며, $\|x\| \leq 3\|x\|_0$ 를 만족시킨다.
• 노름의 Gâteaux 도함수는 유한 코디멘션 부분공간의 점들에서 제어된 방식으로 존재하지 않으며, 이는 최소거리 사영의 존재를 방지한다.
• 함수 공간 $\Phi_0$ 의 몫 사상 $\theta$ 에 의한 이미지는 반드시 차원이 $N+1$ 이상이어야 하며, 이는 $\dim \Phi = N$ 과 모순된다.
• 근사 함수들 $z_r$ 과의 내적 부호 패턴은 $\mathbb{R}^{N+1}$ 에서 $N+1$ 개의 선형 독립 벡터를 생성하며, 이는 모순을 유도한다.
• 결과적으로 프록시미날 하이퍼플레인은 항상 조밀하다는 명확한 이분법적 대비를 확립한다. 그러나 코디멘션 ≥2에서는 이러한 보장이 성립하지 않는다.