[논문 리뷰] Barak-Erd\H{o}s graphs and the infinite-bin model

Bastien Mallein, Sanjay Ramassamy|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 13.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 바라크-에르도시 그래프와 무한-빈 모델 간의 결합을 통해 이러한 방향성 비순환 무작위 그래프에서 최장 경로의 선형 성장률 $ C(p) $ 에 대한 명시적인 해석적 추정치를 유도한다. 무한-빈 모델의 전면이 수렴하는 급수로 표현할 수 있는 선형 속도로 이동함을 증명함으로써, 저자들은 $ p > 1/2 $ 에서 $ C(p) $ 가 해석적임을 보이고 그 멱급수 전개를 계산한다. 또한 분열 랜덤 워크 결합을 통해 $ p \to 0^+ $ 일 때의 첫 두 항의 점점 가까운 전개를 유도한다.

ABSTRACT

A Barak-Erd\H{o}s graph is a directed acyclic version of the Erd\H{o}s-R\'enyi random graph. It is obtained by performing independent bond percolation with parameter $p$ on the complete graph with vertices $\{1,...,n\}$, in which the edge between two vertices $i<j$ is directed from $i$ to $j$. The length of the longest path in this graph grows linearly with the number of vertices, at rate $C(p)$. In this article, we use a coupling between Barak-Erd\H{o}s graphs and infinite-bin models to provide explicit estimates on $C(p)$. More precisely, we prove that the front of an infinite-bin model grows at linear speed, and that this speed can be obtained as the sum of a series. Using these results, we prove the analyticity of $C$ for $p >1/2$, and compute its power series expansion. We also obtain the first two terms of the asymptotic expansion of $C$ as $p o 0$, using a coupling with branching random walks.

연구 동기 및 목표

• 바라크-에르도시 그래프에서 최장 경로의 성장률 $ C(p) $ 와 무한-빈 모델의 전면 속도 사이의 정확한 연결 고리를 확립하기 위해.
• 특히 $ p > 1/2 $ 에서 $ C(p) $ 의 명시적 해석적 추정치를 유도하기 위해, 멱급수 전개를 포함한다.
• 분열 랜덤 워크 결합을 사용하여 $ p \to 0^+ $ 일 때 $ C(p) $ 의 점점 가까운 전개의 첫 두 항을 계산하기 위해.
• 무한-빈 모델의 전면이 거의 확실히 선형 속도로 이동하며, 이 속도가 기하분포를 따르는 파라미터 $ p $ 를 가진 모델일 때 $ C(p) $ 와 일치함을 증명하기 위해.

제안 방법

• 바라크-에르도시 그래프와 무한-빈 모델 간의 결합을 사용하여 경로 길이 문제를 입자 시스템에서의 전면 속도 문제로 변환하기 위해.
• i.i.d. 점프 분포 $ \mu $ 를 가진 무한-빈 모델의 전면이 거의 확실히 선형 속도 $ v_\mu $ 로 이동함을 증명하며, 이 속도가 수렴하는 급수로 표현 가능함을 보임.
• 무한-빈 모델의 속도에 관한 결과를 적용하여 $ p > 1/2 $ 에서 $ C(p) $ 의 해석성을 도출하며, $ v_{\mu_p} = C(p) $ 라는 사실을 활용함.
• 연속 시간 분열 랜덤 워크(P-BRWs)와의 결합을 통해 $ p \to 0^+ $ 일 때 $ C(p) $ 의 행동을 분석하고, 특히 점점 가까운 전개를 도출함.
• 특정 $ k $-분열 랜덤 워크 $ Y^k $ 보다 지배하는 입자 과정 $ \tilde{Y} $ 를 구성함으로써, 대규수 법칙 및 대 deviations 추론을 통해 전면 속도의 경계를 확보함.
• 대 deviations 추정치(예: 크라머의 정리)와 결합 기법을 사용하여 희귀 사건의 확률, 예를 들어 $ P_{n\beta}^- > k $ 의 확률을 제어하고, 이를 통해 속도의 하한을 구함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바라크-에르도시 그래프에서 최장 경로 길이의 정확한 점점 가까운 행동은 $ p \to 0^+ $ 일 때 어떻게 되는가?
• RQ2 $ C(p) $ 는 $ p > 1/2 $ 에서 해석적인가? 만약 그렇다면 그 멱급수는 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 무한-빈 모델의 전면 속도는 바라크-에르도시 그래프의 경로 길이 성장과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 무한-빈 모델과 분열 랜덤 워크 간의 결합은 희박한 영역에서 $ C(p) $ 에 대한 정밀한 추정치를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• i.i.d. 점프 분포 $ \mu $ 를 가진 무한-빈 모델의 전면은 거의 확실히 선형 속도 $ v_\mu $ 로 이동하며, 이 속도는 수렴하는 급수로 표현 가능하다.
• $ p > 1/2 $ 에서 함수 $ C(p) $ 는 해석적이며, 그 멱급수 전개가 명시적으로 계산된다.
• $ p \to 0^+ $ 일 때, $ C(p) $ 의 점점 가까운 전개의 첫 두 항은 $ 1 - p + p^2 - 3p^3 + O(p^4) $ 로, 분열 랜덤 워크 결합을 통해 도출된다.
• 분포 $ \mu $ 가 파라미터 $ p $ 를 가진 기하분포일 때, 무한-빈 모델의 속도 $ v_\mu $ 는 $ C(p) $ 와 일치함이 증명된다.
• 지배 입자 과정 $ \tilde{Y} $ 를 구성함으로써 저자들은 $ \limsup_{t \to \infty} t^{-1}(\tilde{m}_t - t e) \leq c_k - e $ 를 증명하며, 이는 속도의 하한을 제공하고 점점 가까운 분석을 가능하게 한다.
• 증명 과정에서 $ \liminf_{k \to \infty} (\log k)^2 (c_k - e) \geq -\frac{\pi^2 e}{2} $ 가 확립되며, 이는 $ p \to 0^+ $ 일 때 $ C(p) $ 의 점점 가까운 행동을 유도하는 데 사용된다.