[논문 리뷰] Barnes multiple zeta-functions, Ramanujan's formula, and relevant series involving hyperbolic functions

Yasushi Komori, Kohji Matsumoto외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 16.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Barnes 다중 제타함수에 대한 함수방정식을 수립하고,双곡함수를 포함하는 급수에 대한 라마누잔의 공식을 일반화한다. 바르누alli 다항식과 원분단위를 연결함으로써 sinh 및 coth 항을 포함하는 무한급수에 대한 새로운 평가공식을 증명하며, $\rho = (-1 + \sqrt{-3})/2$와 같은 복소주기들을 포함하는 새로운 항등식을 도출하여 카우치, 멜린, 라마누잔의 고전적 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In the former part of this paper, we give functional equations for Barnes multiple zeta-functions and consider some relevant results. In particular, we show that Ramanujan's classical formula for the Riemann zeta values can be derived from functional equations for Barnes zeta-functions. In the latter half part, we generalize some evaluation formulas of certain series involving hyperbolic functions in terms of Bernoulli polynomials. The original formulas were classically given by Cauchy, Mellin, Ramanujan, and later recovered and formulated by Berndt. From our consideration, we give multiple versions of these known formulas.

연구 동기 및 목표

• Barnes 다중 제타함수에 대한 함수방정식을 유도하고, 이들을 이중함수를 포함한 고전적 급수와 연결한다.
• 이중 제타함수의 함수방정식으로부터 $\zeta(2N+1)$에 대한 라마누잔의 공식을 도출할 수 있음을 보인다.
• 바르누alli 다항식을 이용한 이중 제타함수 프레임워크로 기존의 이중함수 급수 평가공식을 일반화한다.
• 모든 $y \in [0,1]$에 대해 일반화된 평가공식을 수립하여 고전적 결과를 통합하고 확장한다.
• $\sinh(m\pi i/\rho)^{-2}$ 및 $\coth(m\pi i/\rho)^2$와 관련된 항등식을 체계적으로 복구하고 일반화한다.

제안 방법

• Gamma 함수를 통한 $x^{-s}$의 적분 표현을 이용하고, 경로적분을 통해 Barnes 다중 제타함수의 함수방정식을 유도한다.
• 원점을 둘러싸는 주요 경로 $C(\theta)$를 포함한, $e^{\omega_j t} - 1$과 $t^{s-1}$를 포함하는 경로적분을 통해 Barnes 제타함수를 표현한다.
• 매개변수 $y$를 $a(y_1,\dots,y_n) = \sum \omega_j(1 - y_j)$를 통해 도입하여 $\cos(2m\pi y)$ 요소를 포함하는 일반화된 급수를 생성한다.
• 함수방정식을 특정 경우에 적용한다: $n=2$는 라마누잔 유형 공식에, $n=3$은 삼차근의 단위에, 고차수 $n$은 고차수 항등식에 적용한다.
• 근의 단위 $\eta = e^{\pi i/n}$의 성질을 이용하여 유도된 급수 내 삼각함수 및 이중함수 표현을 단순화한다.
• 함수방정식의 계수를 비교하고 바르누alli 다항식 항등식을 활용하여 명시적 평가공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Barnes 다중 제타함수의 함수방정식으로부터 $\zeta(2N+1)$에 대한 라마누잔의 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 Barnes 제타함수와 바르누alli 다항식을 사용하여 $\sinh(m\pi)$ 및 $\coth(m\pi)$를 포함하는 고전적 급수를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 다중 제타함수의 프레임워크와 복소매개변수 $\rho = e^{2\pi i/3}$를 확장함으로써 어떤 새로운 평가공식이 도출되는가?
• RQ4 $\sinh(m\pi i/\rho)^{-2}$ 및 $\coth(m\pi i/\rho)^2$와 관련된 항등식을 함수방정식에서 체계적으로 유도할 수 있는가?
• RQ5 근의 단위는 어떤 방식으로 $\pi^{2k}$의 유리수 배를 포함하는 새로운 이중함수 급수의 가족을 생성하는가?

주요 결과

• 이중 경우의 Barnes 제타함수의 함수방정식은 라마누잔의 공식 (1.5)를 특수한 경우로 포함하며, 이는 제타함수 이론의 기원임을 확인한다.
• 모수 $n=2$일 때, 일반 공식 (6.10)은 $y=1/2$일 때 (1.2)와 $y=0$일 때 (1.4)를 모두 회복하며, 하나의 프레임워크 내에서 통합됨을 보여준다.
• 모수 $n=3$일 때, 공식 (6.12)는 $\sum_{m \neq 0} \frac{\coth(m\pi i/\rho)^2}{m^4} = \frac{62}{2835}\pi^4$ 및 $\sum_{m \neq 0} \frac{1}{\sinh(m\pi i/\rho)^2 m^4} = -\frac{1}{2835}\pi^4$와 같은 새로운 항등식을 도출하며, 여기서 $\rho = e^{2\pi i/3}$이다.
• 이 방법은 고차수의 유사공식을 생성하며, 예를 들어 $\sum \frac{\coth(m\pi i/\rho)^2}{m^{10}} = \frac{40247}{1915538625}\pi^{10}$와 같이 고전적 결과를 초월하는 체계적인 확장을 보여준다.
• $n=4$ 및 $n=5$일 때, 프레임워크는 $\sum \frac{(-1)^m}{\sinh(m\pi)\sinh(m\pi i\zeta_8)\sinh(m\pi i\zeta_8^{-1})m^5} = \frac{1}{37800}\pi^5$와 같은 항등식을 생성하며, 고차근의 단위를 포함한다.
• 일반 공식 (5.1)과 그 특수화된 형태 (6.4)는 모든 이러한 급수, 예를 들어 오일러 다항식과余弦항을 포함한 급수까지도 통합적으로 도출할 수 있는 메커니즘을 제공하며, 비고 6.6에서 이를 보여준다.