[논문 리뷰] Barriers for Rank Methods in Arithmetic Complexity

Klim Efremenko, Ankit Garg외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 26.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 42인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 산술 복잡도 이론에서 랭크 방법에 대한 처음으로 조건부가 아닌 장벽을 설정하며, 3차원 텐서에 대해 초선형 텐서 랭크 하한을 증명할 수 없고, 차수 d의 다항식에 대해 초다항식 Waring 랭크 하한을 증명할 수 없음을 증명한다. 저자들은 행렬 다항식의 기호 랭크 분석을 통해 랭크 방법이 본질적으로 Ω_d(n^{⌊d/2⌋}) 하한에 국한됨을 보이며, 최근의 진전에도 불구하고 기존의 선형 및 다항식 하한에 머물러 온 이유를 설명한다.

ABSTRACT

Arithmetic complexity is considered simpler to understand than Boolean complexity, namely computing Boolean functions via logical gates. And indeed, we seem to have significantly more lower bound techniques and results in arithmetic complexity than in Boolean complexity. Despite many successes and rapid progress, however, challenges like proving super-polynomial lower bounds on circuit or formula size for explicit polynomials, or super-linear lower bounds on explicit 3-dimensional tensors, remain elusive. At the same time, we have plenty more "barrier results" for failing to prove basic lower bounds in Boolean complexity than in arithmetic complexity. Finding barriers to arithmetic lower bound techniques seem harder, and despite some attempts we have no excuses of similar quality for these failures in arithmetic complexity. This paper aims to add to this study. We address rank methods, which were long recognized as encompassing and abstracting almost all known arithmetic lower bounds to-date, including the most recent impressive successes. Rank methods (or flattenings) are also in wide use in algebraic geometry for proving tensor rank and symmetric tensor rank lower bounds. Our main results are barriers to these methods. In particular, 1. Rank methods cannot prove better than $Ω_d (n^{\lfloor d/2 floor})$ lower bound on the tensor rank of any $d$-dimensional tensor of side $n$. (In particular, they cannot prove super-linear, indeed even $>8n$ tensor rank lower bounds for any 3-dimensional tensors.) 2. Rank methods cannot prove $Ω_d (n^{\lfloor d/2 floor})$ on the Waring rank of any $n$-variate polynomial of degree $d$. (In particular, they cannot prove such lower bounds on stronger models, including depth-3 circuits.)

연구 동기 및 목표

• 랭크 방법—산술 복잡도에서 주로 사용되는 기법의 주요 유형—의 제한을 규명하고, 더 강력한 하한을 도출할 수 없음을 증명하기 위해.
• 랭크 방법이 텐서 랭크와 Waring 랭크 분야에서 알려진 하한을 넘어설 수 없었던 이유를 설명하기 위해, 최근의 하한 결과에서의 광범위한 사용과 성공에도 불구하고.
• 랭크 방법에 대한 산술 복잡도 이론에서의 형식적이고 조건부가 아닌 장벽 결과를 제시하며, 불리한 복잡도 이론에서의 더 추측성 또는 조건부 장벽들과 대비하기 위해.
• 랭크 방법이 확장되거나 일반화될 수 있는지 탐색하고, 이러한 방법의 범위를 넘어서는 새로운 연구 방향을 제안하기 위해.
• 랭크 방법과 대수기하학 기법, 특히 평탄화와 대칭 텐서 랭크의 맥락에서의 관계를 형식화하기 위해.

제안 방법

• 행렬 다항식의 기호 랭크를 분석하여, 그 평가 결과의 랭크를 제한한다. 여기서 행렬의 원소는 다항식 또는 동차 다항식이다.
• 선형대수 기법을 사용하여 기호 랭크를 특정 점에서의 평가 결과의 랭크와 연결한다.
• 특정 대칭 다항식 공간에서 행렬로의 선형 사상 L을 통해 랭크 방법을 기술하며, 그 이미지 공간의 랭크를 제한하는 것을 목표로 한다.
• 이러한 프레임워크에 기반한 모든 랭크 방법이 텐서 랭크 및 Waring 랭크에 대해 Ω_d(n^{⌊d/2⌋}) 하한에 국한됨을 입증한다.
• 동차 다항식에 대한 알려진 분해 정리를 활용하여 행렬 다항식의 동차 랭크를 제한하고, 타당성 결과를 도출한다.
• 이러한 기법을 적용하여, 랭크 방법이 3차원 텐서에 대해 알려진 하한을 초월할 수 없음을 보이며(예: 8n을 초과할 수 없다), 또는 깊이 3 회로에 대해서도 마찬가지로 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랭크 방법은 3차원 텐서의 텐서 랭크에 대해 초선형 하한을 증명할 수 있는가?
• RQ2 랭크 방법이 n변수 동차 다항식의 차수 d에 대해 도출할 수 있는 최대 하한은 무엇인가?
• RQ3 분석에서 사용된 분해 정리는 타당한가, 아니면 더 강력한 장벽을 도출하기 위해 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 기호 랭크 프레임워크를 비선형 또는 저차수 사상 L로 확장하여 이러한 장벽을 극복할 수 있는가?
• RQ5 랭크 방법과 대수기하학 평탄화 기법 간의 연결을 얼마나 정밀하게 형식화하고 활용할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 d차원 텐서(측면 길이 n)에 대해, 랭크 방법은 텐서 랭크에 대해 Ω_d(n^{⌊d/2⌋}) 이하의 하한을 증명할 수 없다.
• 특히, 랭크 방법은 3차원 텐서의 텐서 랭크에 대해 초선형, 또는 심지어 8n을 초과하는 하한을 증명할 수 없다.
• 랭크 방법은 n변수 동차 다항식의 차수 d에 대해 Waring 랭크에 대해 Ω_d(n^{⌊d/2⌋}) 하한을 증명할 수 없다.
• 랭크 방법이 도출하는 하한은 랜덤 다항식의 진짜 복잡도에서 제곱근만큼 떨어져 있으며, 이는 초다항식 공식 크기 하한을 암시하는 것으로 알려져 있다.
• 기호 랭크는 랭크 방법의 한계를 정확하게 기술하며, 분석은 다항식 평가의 선형대수적 성질에 의존한다.
• 논문은 분석에서 사용된 분해가 거의 타당하며, 동차 랭크가 임의의 ε>0에 대해 (d+1−ε)r에 가까이 갈 수 있음을 추측한다. 이는 장벽이 거의 최적임을 시사한다.