[논문 리뷰] Barvinok's Rational Functions: Algorithms and Applications to Optimization, Statistics, and Algebra

Yoshida, Ruriko|ArXiv.org|2004. 06. 15.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 53인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바르비노크의 유리 함수를 기반으로 한 알고리즘을 제시하여 유리 볼록 다면체 내의 격자점 수를 효율적으로 세고 혼합 정수 계획 문제를 해결한다. 생성 함수를 짧은 유리 함수로 표현함으로써, 고정된 차원에서 토릭 아이디얼, 그뢰브너 기저, 에흐라르 시리즈, 정수계획법의 최적해를 다항시간에 계산할 수 있으며, LattE 소프트웨어 스위트를 통해 실험적으로 검증되었다.

ABSTRACT

The main theme of this dissertation is the study of the lattice points in a rational convex polyhedron and their encoding in terms of Barvinok's short rational functions. The first part of this thesis looks into theoretical applications of these rational functions to Optimization, Statistics, and Computational Algebra. The main theorem on Chapter 2 concerns the computation of the \emph{toric ideal} $I_A$ of an integral $n imes d$ matrix $A$. We encode the binomials belonging to the toric ideal $I_A$ associated with $A$ using Barvinok's rational functions. If we fix $d$ and $n$, this representation allows us to compute a universal Gröbner basis and the reduced Gröbner basis of the ideal $I_A$, with respect to any term order, in polynomial time. We derive a polynomial time algorithm for normal form computations which replaces in this new encoding the usual reductions of the division algorithm. Chapter 3 presents three ways to use Barvinok's rational functions to solve Integer Programs. The second part of the thesis is experimental and consists mainly of the software package { t LattE}, the first implementation of Barvinok's algorithm. We report on experiments with families of well-known rational polytopes: multiway contingency tables, knapsack type problems, and rational polygons. We also developed a new algorithm, {\em the homogenized Barvinok's algorithm} to compute the generating function for a rational polytope. We showed that it runs in polynomial time in fixed dimension. With the homogenized Barvinok's algorithm, we obtained new combinatorial formulas: the generating function for the number of $5 imes 5$ magic squares and the generating function for the number of $3 imes 3 imes 3 imes 3$ magic cubes as rational functions.

연구 동기 및 목표

• 바르비노크의 유리 함수 인코딩을 사용하여 유리 볼록 다면체 내 격자점 수를 효율적으로 세는 알고리즘을 개발한다.
• 유리 함수를 통해 토릭 아이디얼과 그 그뢰브너 기저를 계산하여 고정된 차원에서 다항시간 복잡도를 달성한다.
• 이러한 방법을 혼합 정수 계획 문제, 통계학(예: 연도표), 대수기하학 문제에 적용한다.
• 실제 성능과 확장성을 평가하기 위해 LattE 소프트웨어 시스템에 알고리즘을 구현하고 평가한다.
• 에흐라르 시리즈, 다면체 위의 최적화, 정수계획법의 정확한 해를 위한 계산 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 바르비노크의 분해를 이용해 단순형 코너로 분해하여 다면체 내 격자점의 생성함수를 짧은 유리 함수로 표현한다.
• 서명된 코너 분해를 사용하여 에흐라르 시리즈와 수세기 함수를 인코딩하는 유리 함수를 표현한다.
• 동차화된 바르비노크 알고리즘과 BBS(Binary Search on the Basis) 알고리즘을 구현하여 격자점 수와 다면체 위의 최적화를 수행한다.
• 유리 함수 표현을 사용해 반복적으로 타당해를 개선함으로써 혼합 정수 계획 문제를 해결하기 위해 도드람 알고리즘을 적용한다.
• 컴퓨터 대수 시스템과 LattE 내의 C++ 구현을 활용하여 에흐라르 다항식, 생성함수, 최적값을 계산한다.
• 유리 함수의 테일러 급수 전개를 이용해 확대된 다면체에서 격자점 수에 해당하는 계수를 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 차원에서 바르비노크의 유리 함수를 사용하여 토릭 아이디얼의 보편 그뢰브너 기저를 다항시간에 계산할 수 있는가?
• RQ2 유리 함수 인코딩과 코너 분해를 사용할 때, 유리 다면체 내 격자점 수는 얼마나 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 BBS 알고리즘과 도드람 알고리즘이 전통적 방법에 비해 혼합 정수 계획 문제를 해결하는 데 얼마나 효율적인가?
• RQ4 완전한 단순화가 비용이 많이 들더라도, 다면체의 에흐라르 시리즈는 유리 함수 표현을 통해 정확히 계산할 수 있는가?
• RQ5 유리 함수 인코딩을 통해 배낭 문제와 운반 다면체 위의 정확한 최적화는 어느 정도 가능할 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 $ n $ 와 $ d $ 에 대해, $ n \times d $ 정수 행렬 $ A $ 와 관련된 토릭 아이디얼 $ I_A $ 는 바르비노크의 유리 함수로 인코딩될 수 있으며, 이는 그 보편 및 축소 그뢰브너 기저를 다항시간에 계산할 수 있도록 한다.
• LattE는 $ 4 \times 4 $ 마법의 정사각형 다면체의 에흐라르 시리즈를 $ \frac{t^8 + 4t^7 + 18t^6 + 36t^5 + 50t^4 + 36t^3 + 18t^2 + 4t + 1}{(-1+t)^4(-1+t^2)^4} $ 로 성공적으로 계산하였으며, 계수는 $ t^{15} $ 까지 알려진 수와 일치한다.
• 24면체는 정확히 33개의 격자점이 있으며, 내부에 단 한 개 뿐이었으며, 표준 및 동차화된 바르비노크 알고리즘을 모두 사용해 계산되었다.
• 배낭 문제 "cuww1"의 최적해는 도드람 알고리즘을 통해 $ (7334, 0, 0, 0, 0) $ 로 발견되었으며, 최적값은 1,562,142 였다. 이는 BBS 알고리즘으로도 확인되었다.
• BBS 알고리즘은 최적값을 계산하기 위해 26회의 반복과 125,562개의 단순형 코너를 요구하였으며, 높은 계산 비용에도 불구하고 확장성은 입증되었다.
• 메모리 효율적인 테일러 급수 전개 모드를 통해 15개의 항을 2초 이내에 계산할 수 있었으며, 이는 이전 결과와 일관성을 확인하였다.