[논문 리뷰] Base-$b$ analogues of classic combinatorial objects

Tanay Wakhare, Christophe Vignat|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 09.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자릿리스 곱으로 정의된 새로운 기수-$b$ 이항계수를 사용하여 고전적인 조합론적 대상—제2종 스타링 수, 피보나치 수, 지수함수의 기수-$b$ 해석을 도입한다. 이는 캐리가 없는 인덱스에 대한 일반적인 합공식을 수립함으로써, 기존 결과를 일반화하는 새로운 항등식과 해석을 가능하게 하며, 점점 더 큰 성질과 콘볼루션 성질을 지닌 기수-$b$ 지수함수를 포함한다.

ABSTRACT

We study the properties of the base-$b$ binomial coefficient defined by Jiu and the second author, introduced in the context of a digital binomial theorem. After introducing a general summation formula, we derive base-$b$ analogues of the Stirling numbers of the second kind, the Fibonacci numbers and the classical exponential function.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 조합론적 대상인 스타링 수, 피보나치 수, 지수함수의 기수-$b$ 해석을 개발하기 위해.
• 자릿리스 이항계수 $\binom{n}{k}_b$ 를 사용하여 임의의 기수 $b$ 에 대해 디지털 이항정리의 일반화를 수행하기 위해.
• 캐리가 없는 인덱스 $k \leq_b n$ 에 대한 일반적인 합공식을 수립하여, $\binom{n}{k}_b$ 를 포함한 합에 관한 이전 결과들을 통합하고 확장하기 위해.
• 기수-$b$ 지수함수 $e_b(x,w)$ 를 정의하고 분석하기 위해. 이 함수는 콘볼루션 항등식과 점점 더 큰 근사값을 포함한 성질을 가진다.

제안 방법

• 기수-$b$ 이항계수를 $\binom{n}{k}_b = \prod_{i=0}^{N-1} \binom{n_i}{k_i}$ 로 정의한다. 여기서 $n_i, k_i$ 는 $n, k$ 를 기수 $b$ 로 표현한 자릿수이다.
• 일반적인 합공식을 도입한다: $\prod_{i=0}^{N-1} S(n_i) = \sum_{0 \leq k \leq_b n} \prod_{i=0}^{N-1} f(n_i, k_i)$, 캐리가 없는 $k$ 에 대해 유효하다.
• 합공식을 적용하여 생성함수를 통해 기수-$b$ 스타링 수 제2종의 해석을 유도한다.
• 자릿수 연산을 포함한 재귀관계에 공식을 적용하여 기수-$b$ 피보나치 해석을 구성한다.
• 기수-$b$ 지수함수를 $e_b(x,w) = \prod_{i=0}^\infty \sum_{k=0}^{b-1} \frac{(x w^{b^i})^k}{k!}$ 로 정의한다. 정확한 형태를 얻기 위해 상부 불완전 감마 함수를 사용한다.
• 콘볼루션 항등식 $e_b(x,w) \star e_b(y,w) = e_b(x+y,w)$ 를 증명한다. 여기서 $\star$ 는 자릿수 우세성 조건 $k \leq_b n$ 을 강제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스탈링 수와 피보나치 수와 같은 고전적인 조합론적 대상은 어떻게 자릿리스 기수-$b$ 구조로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 기수-$b$ 이항정리는 어떤 구조를 가지며, 고전적 이항정리와 디지털 이항정리를 어떻게 확장하는가?
• RQ3 기수-$b$ 지수함수의 해석을 정의할 수 있으며, 그 해석적 및 대수적 성질은 무엇인가?
• RQ4 캐리가 없는 인덱스에 대한 합공식은 자릿리스 조합론에서 이전 결과들을 어떻게 통합하고 일반화하는가?
• RQ5 작은 $w$ 에 대해 기수-$b$ 지수함수의 점점 더 큰 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 기수-$b$ 이항계수 $\binom{n}{k}_b = \prod_{i=0}^{N-1} \binom{n_i}{k_i}$ 는 일반화된 이항정리를 만족한다: $(X+Y)^{s_b(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}_b X^{s_b(k)} Y^{s_b(n-k)}$.
• 일반적인 합공식을 사용하여 기수-$b$ 스타링 수 제2종의 해석이 도출되었으며, 고전적인 생성함수 항등식이 일반화된다.
• 합공식을 적용하여 기수-$b$ 피보나치 수열이 정의되었으며, 자릿수 연산 하에서 재귀 유사 성질이 유지된다.
• 기수-$b$ 지수함수는 $e_b(x,w) = \exp\left(x \sum_{i=0}^\infty w^{b^i}\right) \prod_{i=0}^\infty \frac{\Gamma(b, x w^{b^i})}{(b-1)!}$ 로 주어지며, 작은 $w$ 에 대해 점점 더 큰 근사 $e_b(x,w) \simeq e^{xw + xw^b}$ 를 가진다.
• 콘볼루션 항등식 $e_b(x,w) \star e_b(y,w) = e_b(x+y,w)$ 가 성립한다. 여기서 $\star$ 는 자릿수 우세성 조건 $k \leq_b n$ 을 강제하며, $e^x e^y = e^{x+y}$ 를 일반화한다.
• 항등식 $\binom{n}{k}_b \neq \frac{(n!)_b}{(k!)_b (n-k)!_b}$ 가 확인되었으며, 캐리가 없는 제약 조건으로 인해 기수-$b$ 팩토리얼이 고전적 이항항등식을 만족하지 못함을 보여준다.