[논문 리뷰] Base phi representations and golden mean beta-expansions

Michel Dekking|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 20.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자연수의 황금비 기수 전개에서 임의의 고정된 위치 k에서 숫자 1의 위치가 황금비 φ를 포함한 일반화된 비에티 수열에 정확히 주어진다는 것을 보여줌으로써, 기수 φ 전개에 관한 두 가지 오랫동안 남아있던 추측을 증명한다. 매핑, 피보나치 단어, 루카스 수를 통한 재귀적 분해를 통해, 숫자 d_k(N) = 1인 자연수의 집합에 대한 정확한 공식을 유도하며, 베타 전개와 어휘 조합론 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

In the base phi representation any natural number is written uniquely as a sum powers of the golden mean with digits 0 and 1, where one requires that the product of two consecutive digits is always 0. In this paper we give precise expressions for the those natural numbers for which the $k$th digit is 1, proving two conjectures for $k=0,1$. The expressions are all in terms of generalized Beatty sequences.

연구 동기 및 목표

• 자연수의 기수 φ 전개에서 0번째 및 1번째 분수 위치에서 숫자 1의 위치에 관한 두 개의 열린 추측을 해결하는 것.
• 기수 φ 전개에서 임의의 숫자 위치 k ≥ 0에 대해 숫자 1 위치의 특성을 일반화하는 것.
• 기수 φ 전개에서 숫자의 분포와 황금비에서 유도된 일반화된 비에티 수열 사이의 정확한 연결 고리를 설정하는 것.
• 루카스 수 간격과 매핑을 사용한 재귀적 프레임워크를 개발하여 기수 φ 전개의 구조를 분석하는 것.

제안 방법

• 네 글자 알파벳 위에서 피보나치 매핑 γ를 사용하여 기수 φ 전개의 구조를 인코딩하는 무한 단어를 생성하는 것.
• φ가 황금비일 때, 형태가 V(n) = p⌊nφ⌋ + qn + r인 일반화된 비에티 수열을 정의하여 숫자 1 위치를 모델링하는 것.
• 시퀀스에 대한 제1차 차분 연산자 Δ를 사용하여 숫자 패턴을 특정 알파벳 위의 피보나치 단어와 연결하는 것.
• 루카스 수를 사용하여 구간 [L_{2n+1}+1, L_{2n+2}-1]의 재귀적 분해를 적용하여 숫자 분포를 분석하는 것.
• d_k(N) = 1인 수열이 짝수 k에 대해 알파벳 {L_{2k+2}, L_{2k+1}} 위의 피보나치 단어와 일치함을 증명하고, 이를 통해 렘마 2.1을 통한 정확한 특성화를 가능하게 하는 것.
• 유사한 재귀적 및 매핑 기반 기법을 사용하여 홀수 k 및 음수 k 위치로 분석을 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기수 φ 전개에서 0번째 숫자 d_0(N) = 1인 자연수 N는 무엇인가?
• RQ2 기수 φ 전개에서 1번째 숫자 d_1(N) = 1인 자연수 N는 무엇인가?
• RQ3 고정된 k ≥ 0에 대해 d_k(N) = 1인 자연수 N의 집합에 대한 정확한 특성은 무엇인가?
• RQ4 위치 k에서 숫자 1의 위치는 일반화된 비에티 수열과 황금비와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 기수 φ 전개의 재귀적 구조는 매핑과 루카스 수 간격을 사용하여 완전히 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 추측 1을 증명한다: d_0(N) = 1이 되는 것은 어떤 n ∈ ℕ에 대해 N = ⌊nφ⌋ + 2n + 1 또는 N = 1일 때에 한하여 성립한다.
• 논문은 추측 2를 증명한다: d_1(N) = 1이 되는 것은 어떤 n ∈ ℕ에 대해 N = ⌊nφ⌋ + 2n - 1일 때에 한하여 성립한다.
• 모든 짝수 k ≥ 0에 대해 d_k(N) = 1인 N의 집합은 N = L_{2k}⌊nφ⌋ + L_{2k-1}n + r로 주어지며, 여기서 r ∈ {−L_{2k-1}, −L_{2k-1}+1}은 k에 따라 달라진다.
• 모든 홀수 k ≥ 1에 대해 d_k(N) = 1인 N의 집합은 N = L_{2k}⌊nφ⌋ + L_{2k-1}n + r로 주어지며, 여기서 r ∈ {−L_{2k-1}+1, −L_{2k-1}+2}이다.
• 위치 k에서 숫자 1의 분포는 알파벳 {L_{2k+2}, L_{2k+1}} 위의 피보나치 단어와 일치하며, 이는 일반화된 비에티 수열을 통한 정확한 특성화를 가능하게 한다.
• 음수 k, 예를 들어 k = −2에 대해, d_{-2}(N) = 1이 성립하는 것은 N = 4⌊nφ⌋ + 3n + r (r ∈ {2,3,4})일 때에 한하여 성립하며, 이는 방법이 분수 자릿리 위치로도 확장됨을 보여준다.