[논문 리뷰] Basic concepts of ternary Hopf algebras

A. Borowiec, Wiesław A. Dudek외 1명|ArXiv.org|2003. 06. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 14인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 범주론의 화살표 뒤집기 방법을 사용하여 이진 호프 대수의 구조를 삼항 연산으로 일반화함으로써 삼항 호프 대수의 기초 프레임워크를 제시한다. 삼항 코승법, 이원대수, 호프 대수에 대해 각각 3가지의 코결합성 유형, 3가지의 코단위 유형, 2가지의 역원 유형이 존재함을 규명하였으며, 삼항 호프 대수는 자동형사상과 선형 사상에 의해 이항 호프 대수로부터 유도될 수 있음을 보이며, 군 대수와 함수 대수 위에서의 구체적 예를 제시한다.

ABSTRACT

The theory of ternary semigroups, groups and algebras is reformulated in the abstract arrow language. Then using the reversing arrow ansatz we define ternary comultiplication, bialgebras and Hopf algebras and investigate their properties. The main property "to be binary derived" is considered in detail. The co-analog of Post theorem is formulated. It is shown that there exist 3 types of ternary coassociativity, 3 types of ternary counits and 2 types of ternary antipodes. Some examples are also presented.

연구 동기 및 목표

• 범주론적 화살표 뒤집기 방법을 사용하여 이항 호프 대수의 구조를 삼항 연산으로 일반화한다.
• 삼항 코승법, 이원대수, 호프 대수의 정의와 분류를 통해 다수의 구조적 유형을 설정한다.
• 삼항 호프 대수의 '이항 유도 가능성'을 조사하여, 자동형사상과 선형 사상에 의해 삼항 호프 대수 구조가 이항 호프 대수로부터 구성될 수 있음을 보인다.
• 군 대수와 함수 대수를 사용한 구체적 예를 제시하여 이론을 설명한다.

제안 방법

• 삼항 준군, 군, 대수의 체계적 대칭성 확보를 위해 추상적 화살표 기호를 사용하여 재구성한다.
• 화살표 뒤집기 가설을 적용하여 삼항 코승법, 코단위, 역원을 승법의 쌍대형으로 정의한다.
• 세 가지 서로 다른 삼항 코승법 유형을 포함하는 코결합성 조건을 통해 삼항 이원대수를 정의한다.
• 유도된 연산 구조를 사용하여 삼항 구조와 이항 구조 간의 관계를 설정하며, 특정 조건 하에서 $ m^{(3)} = m^{(2)} \times \text{id} $ 임을 보인다.
• 포스트의 정리의 쌍대형을 수립하여, 자동형사상과 몫 구조를 통해 삼항 호프 대수와 이항 호프 대수 간의 관계를 연결한다.
• 군 대수 $ k(G) $ 와 함수 대수 $ \mathcal{F}(G) $ 를 사용하여 예를 구성하며, 적절한 코승법과 역원 정의 하에서 둘 다 삼항 이원대수이자 삼항 호프 대수임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이항 대수적 구조에서 이중성과 화살표 뒤집기를 사용하여 삼항 호프 대수를 체계적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 삼항 호프 대수에서 코결합성, 코단위, 역원의 서로 다른 유형은 무엇이며, 이는 이항 대응체와 어떻게 다를까?
• RQ3 모든 삼항 호프 대수는 이항 호프 대수로부터 유도될 수 있는가? 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ4 군 대수와 함수 대수로부터 구성된 삼항 호프 대수의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ5 포스트의 정리의 쌍대형은 삼항 호프 대수와 이항 호프 대수 간의 관계에 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 삼항 코결합성은 삼항 텐서 tích 내에서 코승법의 위치에 따라 정확히 3가지의 서로 다른 유형이 존재한다.
• 삼항 코단위는 코승법 구조 내에서 코단위 사상의 위치에 따라 각각 다른 3가지 유형이 존재한다.
• 삼항 역원은 삼항 환경에서의 다른 대칭성과 이중성 성질을 반영하여 2가지의 유형이 확인된다.
• 삼항 호프 대수의 구조는 자동형사상 $ \phi $ 와 선형 사상 $ \lambda $ 를 통해 이항 호프 대수로부터 유도될 수 있으며, $ \Delta^{(3)} = (\text{id} \otimes \phi \otimes \text{id}) \circ (\Delta^{(2)} \otimes \text{id}) $ 를 만족한다.
• 포스트의 정리의 쌍대형이 성립한다: 임의의 삼항 호프 대수 $ (H, \Delta^{(3)}) $ 에 대해, 이에 대응하는 이항 호프 대수 $ (H^*, \Delta^{(2)}) $ 가 존재하여 $ H/H^* \simeq k(\mathbb{Z}_2) $ 이고 $ (\text{id} \otimes \text{id} \otimes \text{id}) \circ \Delta^{(3)} = (\text{id} \otimes \Delta^{(2)}) \circ \Delta^{(2)} $ 를 만족한다.
• 예시들은 군 대수 $ k(G) $ 와 함수 대수 $ \mathcal{F}(G) $ 가 모두 결합법칙을 만족하는 삼항 곱과 호환되는 삼항 코승법을 지닐 수 있음을 보이며, 이로 인해 삼항 이원대수이자 적절한 역원 정의 하에서 삼항 호프 대수임을 증명한다.