[논문 리뷰] Basic functional properties of certain scale of rearrangement-invariant spaces

Hana Turčinová|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 11.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $|f|^ au$의 최대 비오름차순 재배열을 포함하는 비선형 함수에 의해 정의되는 새로운 재배열 불변 공간의 클래스 $X\langle\alpha\rangle$를 도입하고 체계적으로 연구한다. 주요 기여는 $X$가 고전적 로렌츠 공간 $\Lambda_q(w)$일 경우 $X\langle\alpha\rangle$의 동반 공간의 완전한 특성화를 제공하며, $q$와 $-\alpha$의 모든 매개변수 영역에서 쌍대 공간의 명시적 노름 공식을 제시한다. 결과들은 날카운 임베딩을 확립하고 르베그 공간과 지그문트 공간을 연결하는 새로운 일파라미터 스케일을 드러낸다.

ABSTRACT

Let $X$ be a rearrangement-invariant space over a non-atomic $\sigma$-finite measure space $(\mathscr{R},\mu)$ and let $\alpha\in(0,\infty)$. We define the functional \begin{equation*} \|f\|_{X^{\langle \alpha angle}} = \|((|f|^\alpha)^{**})^{\frac{1}{\alpha}}\|_{\overline{X}(0,\mu(\mathscr{R}))}, \end{equation*} in which $f$ is a $\mu$-measurable scalar function defined on $(\mathscr{R},\mu)$ and $\overline{X}(0,\mu(\mathscr{R}))$ is the representation space of $X$. We denote by $X^{\langle \alpha angle}$ the collection of all almost everywhere finite functions $f$ such that $\|f\|_{X^{\langle \alpha angle}}$ is finite. These spaces recently surfaced in connection of optimality of target function spaces in general Sobolev embeddings involving upper Ahlfors regular measures. We present a variety of results on these spaces including their basic functional properties, their relations to customary function spaces and mutual embeddings and, in a particular situation, a characterization of their associate structures. We discover a new one-parameter path of function spaces leading from a Lebesgue space to a Zygmund class and we compare it to the classical one.

연구 동기 및 목표

• 새로 정의된 재배열 불변 공간의 스케일 $X\langle\alpha\rangle$ ($\alpha \in (0, \infty)$)의 기본 기능적 성질을 조사한다.
• 특수한 경우인 $X$가 고전적 로렌츠 공간 $\Lambda_q(w)$일 때 $X\langle\alpha\rangle$의 동반 공간을 특성화한다.
• $X\langle\alpha\rangle$ 형식의 공간들 사이의 날카운 임베딩을 확립하고, 르베그 공간과 지그문트 공간과 같은 고전적 함수 공간과의 관계를 규명한다.
• 기본 함수와 가중치 $w$에 대한 $(X\langle\alpha\rangle)'$의 노름에 대한 완전하고 명시적인 공식을 제공한다.

제안 방법

• 함수 $\|f\|_{X\langle\alpha\rangle} = \| ((|f|^\alpha)^{**})^{1/\alpha} \|_{X(0, \mu(R))}$를 정의하며, 여기서 $f^*$는 비오름차순 재배열이다.
• 공간 $X(0, \mu(R))$를 사용하여 $X$의 성질을 $X\langle\alpha\rangle$로 이 trasfer한다.
• 특히 $\Gamma_q(w)$와 $\Lambda_q(w)$ 공간 간의 쌍대성에 기반한 동반 함수 및 노름 이론을 적용한다.
• 변수 치환과 $h^* = (f^*)^{1/\alpha}$의 치환을 통해 쌍대 노름을 $\Gamma_{q/\alpha}(w)$와 $\Lambda_{1/\alpha}(g^*)$ 사이의 임베딩의 연산자 노름과 연결한다.
• 특히 [23, 정리 10.3.17]에서 알려진 로렌츠 공간 이론의 결과를 활용하여 연산자 노름을 계산하고 명시적 쌍대 노름 공식을 유도한다.
• 모든 $q \in (0,\infty)$와 $\alpha \in (0,\infty)$의 경우를 다루는 $q \leq 1$ 또는 $q > 1$ 및 $\alpha \leq 1$ 또는 $\alpha > 1$의 조합에 따라 네 가지의 서로 다른 노름 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 새로운 재배열 불변 공간 $X\langle\alpha\rangle$의 기본 기능적 성질은 무엇인가?
• RQ2 공간 $X\langle\alpha\rangle$는 르베그 공간과 지그문트 공간과 같은 고전적 함수 공간과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 만약 $X = \Lambda_q(w)$일 경우, 동반 공간 $(X\langle\alpha\rangle)'$의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ4 기본 함수와 가중치 $w$에 대해 $X\langle\alpha\rangle$의 쌍대 노름을 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 다른 $X\langle\alpha\rangle$ 공간들 사이의 임베딩은 어떻게 행동하며, 그것들은 날카로운가?

주요 결과

• 모든 $q$와 $\alpha$의 경우에서 $X = \Lambda_q(w)$일 때 동반 공간 $(X\langle\alpha\rangle)'$이 완전히 특성화되며, 모든 경우에 대해 명시적 노름 공식이 제시된다.
• $q \in (0,1]$ 및 $\alpha \in (0,1]$일 경우, 쌍대 노름은 $\|g\|_{(X\langle\alpha\rangle)'} = \sup_{t \in (0,b)} \frac{t g^{**}(t)}{\left( \int_0^t w(s)\,ds + t^{q/\alpha} \int_b^t w(s) s^{-q/\alpha} ds \right)^{1/q}}$로 주어진다.
• $q \in (1,\infty)$ 및 $\alpha \in (0,1]$일 경우, 쌍대 노름은 $y^{q' - q'/\alpha} g^{**}(y)$의 최대값을 포함하는 가중치 $L^{q'}$ 유형 적분과 등가이다.
• $q \in (0,1]$ 및 $\alpha \in (1,\infty)$일 경우, 쌍대 노름은 $t g^{**}(t)$와 $\int_t^b g^{**}(s)^{1/\alpha - 1} g^*(s) ds$의 항을 포함하는 Supremum과 등가이다.
• $q \in (1,\infty)$ 및 $\alpha \in (1,\infty)$일 경우, 쌍대 노름은 $t g^{**}(t)$와 $g^{**}(s)^{1/\alpha - 1} g^*(s)$의 尾積분을 포함하는 복잡한 표현을 가진 가중치 $L^{q'}$ 유형 적분과 등가이다.
• 결과들은 르베그 공간과 지그문트 공간을 연결하는 새로운 일파라미터 스케일의 함수 공간을 드러내며, $\alpha$가 증가함에 따라 $L^q$에서 지그문트 클래스로의 연속적 경로를 제공한다.