[논문 리뷰] Basic loci in Shimura varieties of Coxeter type

Ulrich Goertz, Xuhua He|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 25.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 기본 다양체가 코x터 원소에 관련된 딜리뉴-루스트리의 다양체로 분해되는 코x터 유형의 시무라 다양체를 분류하며, 이러한 경우에 특히 우아한 기하학적 성질과 분할 성질을 보임을 밝혀낸다. 핵심 기여는 기본 다양체를 고전적 딜리뉴-루스트리 집합들의 합집합으로 통일적으로 묘사하는 것으로, 브라하트-티츠 건물의 내부 형식에 의해 지배되는 분할이 이루어지며, 이로 인해 분할의 매끄럽고 정규인 폐쇄가 유도된다.

ABSTRACT

This paper is a contribution to the general problem of giving an explicit description of the basic locus in the reduction modulo $p$ of Shimura varieties. Motivated by \cite{Vollaard-Wedhorn} and \cite{Rapoport-Terstiege-Wilson}, we classify the cases where the basic locus is (in a natural way) the union of classical Deligne-Lusztig sets associated to Coxeter elements. We show that if this is satisfied, then the Newton strata and Ekedahl-Oort strata have many nice properties.

연구 동기 및 목표

• PEL 유형의 시무라 다양체의 모듈로 p 축소에서 기본 다양체의 명시적 기하학적 묘사를 제공한다.
• 기본 다양체가 코x터 원소에 관련된 고전적 딜리뉴-루스트리 다양체로 분해되는 조건을 규명한다.
• 이러한 코x터 유형의 경우 뉴턴 분할과 에케다-오르트 분할이 매끄럽고 정규인 폐쇄를 포함하는 유리한 기하학적 성질을 보임을 확립한다.
• GU(1,n−1) 및 드리플린의 반공간과 같은 이전 결과들을 통합하고 일반화하며, 아핀 딜리뉴-루스트리 다양체와 브라하트-티츠 건물을 활용한다.

제안 방법

• 저자들은 $X(μ,b)_P$로 정의된 아핀 딜리뉴-루스트리 다양체를 통해 기본 다양체를 분석하며, 이는 $\sigma$-동치류와 $\sigma$-동치류의 집합 $B(G,\mu)$를 포함하는 조건을 만족하는 $G(L)/P$의 몫으로 정의된다.
• 디외드onné 이론을 사용하여 라파포르트-링크 공간의 점들을 $L$-벡터 공간의 격자와 연결함으로써, 기본 다양체를 아핀 딜리뉴-루스트리 다양체들의 합집합으로 식별한다.
• 기본 다양체의 분할은 내부 형식 $\mathbb{J}_\tau$의 브라하트-티츠 건물에 의해 묘사되며, 경우에 따라 정점 또는 변에 해당하는 인덱스 집합을 사용한다.
• 브리온과 폴로의 경계 성분 및 차원 상한에 관한 결과를 활용하여, 딜리뉴-루스트리 다양체 $X_Q(w')$의 폐쇄가 매끄럽고 정규임을 증명한다.
• 포함관계 $\overline{Y(w)} \subseteq \overline{X_Q(w')} \cup X_Q(\mathrm{id})$가 정확히 일치하는 조건은 $w_0 w'$가 특정 이중동치류에서 최장 원소일 때이며, 이는 코x터 유형의 경우에 모두 성립함을 확인한다.
• 구체적인 예시를 분석하며, $GU(1,2m)$, $GU(1,2m-1)$의 분할 및 비분할 형태, 그리고 비표준 수준 구조를 가진 $GU(1,3)$를 포함하여 일반적 프레임워크를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PEL 유형의 시무라 다양체에서 기본 다양체가 코x터 원소에 관련된 고전적 딜리뉴-루스트리 집합들의 합집합이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 코x터 유형의 경우, 뉴턴 분할과 에케다-오르트 분할의 기하학적 성질은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 내부 형식의 브라하트-티츠 건물이 기본 다양체의 분할을 매개하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 기본 다양체 내의 딜리뉴-루스트리 다양체의 폐쇄가 매끄럽거나 정규로 남는 조건은 무엇인가?
• RQ5 기본 다양체의 분할의 차원과 인덱스 집합은 다이킨 타입과 아핀 웨일 군 위에서 프로베니우스 작용과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 기본 다양체는 코x터 유형의 경우 각각 코x터 원소에 관련된 고전적 딜리뉴-루스트리 집합들의 합집합인 에케다-오르트 분할들의 합집합이다.
• p가 분할되는 $GU(1,2m)$의 경우, 기본 다양체는 차원 $0$에서 $m$까지의 $m+1$개의 EO 분할을 가지며, 이는 유형 $2i$의 정점 격자에 의해 색인된다.
• 분할된 허미션 형식을 가진 $GU(1,2m-1)$의 경우, 총 $m+2$개의 EO 분할이 존재한다: 차원 $0$에서 $m-1$까지의 $m$개와 차원 $m$인 두 개로, 후자는 공액동작 하에 하나의 궤도에 해당한다.
• 비분할 형태의 $GU(1,2m-1)$의 경우, 기본 EO 분할은 정점 격자의 유형과 일대일 대응되며, 분할 색인 집합은 $\mathbb{J}_\tau$의 브라하트-티츠 건물의 정점 집합이다.
• 비표준 수준 구조를 가진 $GU(1,3)$의 경우, 기본 다양체는 6개의 EO 분할을 포함한다: 차원 0, 1, 2, 2, 3, 3인 분할 각각 1개, 1개, 2개, 2개이며, 최고 차원의 분할은 비코x터 원소 $s_1s_0s_1$ 및 $s_1s_2s_1$에 대응한다.
• 각 딜리뉴-루스트리 다양체 $X_Q(w')$의 폐쇄는 매끄럽고 정규이며, $\overline{Y(w)} = \overline{X_Q(w')} \cup X_Q(\mathrm{id})$가 정확히 성립하는 조건은 $w_0 w'$가 관련 이중동치류에서 최장 원소일 때이며, 이는 모든 코x터 유형의 경우에 확인된다.