[논문 리뷰] Basic polynomial invariants, fundamental representations and the Chern class map

Sanghoon Baek, Erhard Neher외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 등급수준에서 표현 이론과 다항식 불변량 사이의 정확한 관계를 규명하기 위해 등변 코hom올로지 클래스 사상(Chern class map)을 도입한다. 이 사상은 $ S^*(\Lambda)^W $ 가 $ \mathbb{Z} $ 위에서 $ q_i $ 에 대한 다항식 환으로서 성립하지 못하는 데 기인하는 산술적 장애를 측정하는 지수 $ \tau_i $ 를 정의한다. 이 논문은 $ i \leq 4 $ 인 경우 $ \tau_i $ 가 다이노프 지표와 일치함을 증명하고, 비결정성인 $ H_2 $ 시스템에 대해 $ \tau_2 = \sqrt{5} $ 를 계산함으로써, 비틀린 플라그 다양체의 $ K $-이론과 초등군에서의 토판 경계를 제공한다.

ABSTRACT

Consider a crystallographic root system together with its Weyl group $W$ acting on the weight lattice $M$. Let $Z[M]^W$ and $S^*(M)^W$ be the $W$-invariant subrings of the integral group ring $Z[M]$ and the symmetric algebra $S^*(M)$ respectively. A celebrated theorem of Chevalley says that $Z[M]^W$ is a polynomial ring over $Z$ in classes of fundamental representations $w_1,...,w_n$ and $S^*(M)^{W}$ over rational numbers is a polynomial ring in basic polynomial invariants $q_1,...,q_n$, where $n$ is the rank. In the present paper we establish and investigate the relationship between $w_i$'s and $q_i$'s over the integers. As an application we provide an annihilator of the torsion part of the 3rd and the 4th quotients of the Grothendieck gamma-filtration on the variety of Borel subgroups of the associated linear algebraic group.

연구 동기 및 목표

• Weyl 군 불변량의 맥락에서 기본 표현 $ \rho_i $ 와 기본 다항식 불변량 $ q_i $ 사이의 관계를 명확히 하기.
• $ S^*(\Lambda)^W $ 가 $ \mathbb{Z} $ 위에서 $ q_i $ 에 대한 다항식 환으로서 성립하지 못하는 데 기인하는 산술적 장애를 측정하는 지수 $ \tau_i $ 를 정의하고 연구하기.
• 이 이론을 응용하여 비틀린 플라그 다양체의 그로텐디크 $ \gamma $-필터링과 초등군에서의 토판을 경계하기.
• 비결정성인 $ H_2 $ 루트 시스템에 대해 $ \tau_2 $ 를 계산하고, $ \sqrt{5} $ 를 포함하는 기하학적 해석을 밝혀내기.

제안 방법

• $ \mathbb{Z}[\Lambda] $ 와 $ S^*(\Lambda) $ 에 $ I $-adic 필터링을 도입하고, $ I^{i+1} $ 에 대한 절단에서의 동형사상 $ \phi_i $ 를 구성하기.
• $ W $-불변 부분의 $ i $-번째 순서부분의 이미지에서 계수들의 최대공약수로 지수 $ \tau_i $ 를 정의하기.
• 등변 코호몰로지 클래스 사상 $ \phi_i $ 를 이용해 플라그 다양체의 $ K_0 $ 와 $ CH^* $ 를 연결하고, 표현 이론과代수기하학을 연결하기.
• 리만-로흐 정리와 특성류를 적용하여 $ \gamma $-필터링 몫을 초등군과 연결하고, 토판 경계를 유도하기.
• $ H_2 $ 에 대해 $ W $-오빗을 분석하고, $ \mathbb{Z}[\tau] $ 내에서 기본 무게와 그 대칭 불변량을 고려하여 $ \tau_2 $ 를 계산하기.
• $ \mathbb{Z}[\tau] $ 가 유클리드 환임을 이용하여 $ \gcd(2+\tau, 2\tau-1) = \sqrt{5} $ 를 계산하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ \mathbb{Z}[\Lambda] $ 와 $ S^*(\Lambda) $ 의 $ W $-불변 부분환에서 기본 표현 $ \rho_i $ 와 기본 다항식 불변량 $ q_i $ 는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 $ S^*(\Lambda)^W $ 가 $ \mathbb{Z} $ 위에서 $ q_i $ 에 대한 다항식 환으로서 성립하지 못하는 데 기인하는 산술적 장애 $ \tau_i $ 는 무엇인가?
• RQ3 작은 $ i $ 에 대해 지수 $ \tau_i $ 가 해당 리 대수 $ \mathfrak{g} $ 의 다이노프 지수와 일치하는가?
• RQ4 이 이론은 $ H_2 $ 와 같은 비결정성 루트 시스템으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ5 $ H_2 $ 에 대해 $ \tau_2 = \sqrt{5} $ 는 기하학적 또는 리이론적 해석을 어떻게 갖는가?

주요 결과

• 지수 $ \tau_i $ 는 $ S^*(\Lambda)^W $ 가 $ \mathbb{Z} $ 위에서 $ q_i $ 에 대한 다항식 환으로서 성립하지 못하는 데 기인하는 실패를 측정하며, $ \phi_i $ 의 이미지에서 $ i $-번째 순서부분의 계수들의 최대공약수로 정의된다.
• $ i \leq 4 $ 인 경우, 지수 $ \tau_i $ 는 해당 리 대수 $ \mathfrak{g} $ 의 다이노프 지수와 일치한다.
• 비틀린 플라그 다양체 $ X $ 의 $ \gamma $-필터링 몫 $ \gamma^4({}_{\xi}X)/\gamma^5({}_{\xi}X) $ 에서의 토판은 $ B_n $ ($ n \geq 3 $) 와 $ D_n $ ($ n \geq 4 $) 형식에서는 12에 의해 소멸된다.
• 만약 상위 필터링 몫 사상 $ \gamma^4({}_{\xi}X)/\gamma^5({}_{\xi}X) \to \tau^4({}_{\xi}X)/\tau^5({}_{\xi}X) $ 가 전사라면, $ \mathrm{CH}^4({}_{\xi}X) $ 의 2-토판은 8에 의해 소멸된다.
• 비결정성 루트 시스템 $ H_2 $ 에 대해 두 번째 지수 $ \tau_2 $ 는 $ \sqrt{5} $ 이며, 이는 $ \mathbb{Z}[\tau] $ 내에서 $ \gcd(2+\tau, 2\tau-1) $ 로 계산된다. 여기서 $ \tau = (1+\sqrt{5})/2 $ 이다.
• 등변 코호몰로지 클래스 사상 $ \phi_i $ 는 절단된 환들 $ \mathbb{Z}[\Lambda]/I_m^{i+1} $ 과 $ S^*(\Lambda)/I_a^{i+1} $ 사이의 동형사상을 유도하며, 그 제한은 $ K_0 $ 와 $ CH^* $ 에서의 고전적 코호몰로지 클래스 사상 $ c_i $ 를 유도한다.