[논문 리뷰] Basins of attraction of automorphisms in C^3

Berit Stensønes, Liz Vivas|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 11.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원점에서 항등사상에 대한 정규화를 갖는 $ℂ^3$ 위의 정칙 자명사상들을 구성하여, 그들의 궤도 수렴 영역이 단순연결이 아님을 보이며, 특히 이러한 영역이 $ℂ^* \times ℂ^2$에 정칙동형임을 보여준다. 이 구성은 유한한 수의 시어(shears)와 오버시어(overshears)의 복합으로 이루어지며, 그 동역학은 $ℂ^2$ 위의 사영된 맵에 의해 지배된다. 하키의 비퇴화된 특성 방향 이론은 궤도 수렴 영역이 $ℂ^2$에 정칙동형임을 보장하며, 이는 $ℂ^3$에서 원하는 구조로 올려진다. 주요 기여는 고차원 복소 동역학에서 단순연결이 아닌 궤도 수렴 영역의 첫 번째 명시적 예시를 제공한 것이다.

ABSTRACT

In this paper we shall give examples of maps and automorphisms with regions of attraction that are not simply connected.

연구 동기 및 목표

• 복소수 $\mathbb{C}^k$ ($k \geq 3$)에서 단순연결이 아닌 궤도 수렴 영역을 갖는 정칙 자명사상을 구성하는 것.
• 기존의 1차원 결과(궤도 수렴 영역가 항상 단순연결됨)를 고차원으로 확장하여, 이러한 위상이 더 이상 보장되지 않는다는 것을 보여주는 것.
• 항등사상에 대한 정규화를 갖는 자명사상에 대해 $ℂ^3$에서 궤도 수렴 영역이 $ℂ^* \times \mathbb{C}^2$에 정칙동형일 수 있음을 보여주는 것.
• 제어된 동역학적 행동을 갖는 이러한 자명사상을 생성하기 위한 구성적 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 맵 $F: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3$를 시어와 오버시어의 유한한 복합으로 정의한다: $F = \phi_3 \circ \phi_2^{-1} \circ \phi_1^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_1$, 여기서 각 $\phi_i$는 $ℂ^3$의 정칙 자명사상이다.
• 시어 $\phi_1(z,t,w) = (z,t,w - zt)$, $\phi_2(z,t,w) = (ze^{aw}, te^{bw}, w)$, $\phi_3(z,t,w) = (z,t,we^{-(a+b+c)zt} + (a+b)z^2t^2)$를 사용하여 $F$를 구성하며, $\zeta = zt$를 포함한 특정 테일러 전개를 갖는다.
• F가 원점에서 항등사상에 대해 정규화되어 있으며, 축 $zt=0$을 유지함을 보여, $F(z,0,w) = (z,0,w)$ 및 $F(0,t,w) = (0,t,w)$임을 확인한다.
• 사영 $\pi: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$를 $\pi(z,t,w) = (zt, w)$로 정의하여, $G: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$와의 다이어그램이 가환하도록 하고, $G$는 $\zeta = zt$ 위의 맵이며 비퇴화된 특성 방향을 갖는다.
• 하키의 정리 적용: 비퇴화된 특성 방향이 양의 실수 부분을 갖는 도이드러를 가질 경우, 해당 궤도 수렴 영역은 $ℂ^2$에 정칙동형이다. 이 조건은 $c > 2a$일 때 $G$에 대해 성립한다.
• G의 궤도 수렴 영역 $\tilde{\Omega}$에 대해 정칙동형 $\phi: \tilde{\Omega} \to \mathbb{C}^2$를 정의하고, $\Psi(z,t,w) = (z, \phi(zt,w))$로 정의하여 $\Omega$가 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$에 정칙동형임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수 $\mathbb{C}^k$에서 $k \geq 3$인 정칙 자명사상의 궤도 수렴 영역이 단순연결이 아닐 수 있는가? (1차원에서는 항상 단순연결이다.)
• RQ2 어떤 동역학적 조건이 $ℂ^3$에서 궤도 수렴 영역이 $ℂ^* \times \mathbb{C}^2$에 정칙동형이 되도록 보장하는가?
• RQ3 어떻게 $ℂ^3$에서 항등사상에 대한 정규화를 갖는 자명사상을 구성하여, 그 궤도 수렴 영역이 비자명한 위상을 갖도록 할 수 있는가?
• RQ4 이러한 구성 방식을 $k \geq 3$의 고차원으로 확장하여 $(\mathbb{C}^*)^{k-2} \times \mathbb{C}^2$에 정칙동형인 궤도 수렴 영역을 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 구성된 자명사상 $F$의 궤도 수렴 영역 $\Omega$는 $ℂ^* \times \mathbb{C}^2$에 정칙동형이며, 단순연결이 아닌 영역이다.
• 맵 $F$는 원점에서 항등사상에 대해 정규화되어 있으며, 시어와 오버시어의 유한한 복합으로 구성되어 있어 전역 정칙 자명사상임을 보장한다.
• 사영 $\pi: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$, $\pi(z,t,w) = (zt,w)$는 $ℂ^2$ 위의 맵 $G$를 유도하며, 그 궤도 수렴 영역 $\tilde{\Omega}$는 하키의 정리에 의해 $ℂ^2$에 정칙동형이다.
• 맵 $G$는 비퇴화된 특성 방향 $(1,0)$을 갖고, 도이드러 $\frac{c - 2a}{2a} > 0$를 갖는다. $c > 2a$일 때 이 조건을 충족하여 $\tilde{\Omega} \cong \mathbb{C}^2$가 되며, 이는 전체 궤도 수렴 영역 $\Omega \cong \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$로 올려진다.
• 이 구성은 $\mathbb{C}^k$ ($k \geq 3$)로 일반화되며, $\zeta = \prod_{i=1}^{k-1} z_i$로 $k-1$개 변수에 대해 시어링 구조를 확장함으로써 $(\mathbb{C}^*)^{k-2} \times \mathbb{C}^2$에 정칙동형인 궤도 수렴 영역을 얻는다.
• 자명사상의 특성 방향 집합은 $k$차원이며, 이 맵들은 $0$-dicritical이다. 즉, 특이 방향의 집합은 $0$차원이며, 아바테와 토베나의 분류와 일치한다.