[논문 리뷰] Batalin-Vilkovisky algebras and cyclic cohomology of Hopf algebras

Luc Menichi|ArXiv.org|2003. 11. 17.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 3인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 모듈러 쌍을 지닌 호프 대수 $\mathcal{H}$에 대해 $(\chi,1)$의 순환 코hom로, 그 차수 $-2$의 등급을 가진 리 대수임을 증명하며, 그 호크시ลด 코호몰로지가 바탈린-빌코비츠(Batalin-Vilkovisky, BV) 대수임을 밝힌다. 또한 '곱을 가진 순환 오페라드'라는 개념을 도입한다—이것은 코호몰로지가 BV 대수이고, 순환 코호몰로지가 차수 $-2$의 등급 리 대수인 코코심플 모듈이다. 주요 기여는 순환 오페라드에 대한 일반적 프레임워크를 제시함으로써, 콘네의 코경계 연산자 $B$를 통해 BV 대수와 등급 리 대수를 연결하며, 호프 대수 코호몰로지와 대칭 대수 호크시ลด 코호몰로지의 기존 결과들을 통합한다.

ABSTRACT

We show that the Connes-Moscovici cyclic cohomology of a Hopf algebra equipped with a character has a Lie bracket of degree -2. More generally, we show that a "cyclic operad with multiplication" is a cocyclic module whose cohomology is a Batalin-Vilkovisky algebra and whose cyclic cohomology is a graded Lie algebra of degree -2. This explain why the Hochschild cohomology algebra of a symmetric algebra is a Batalin-Vilkovisky algebra.

연구 동기 및 목표

• 순환 오페라드에 대한 일반적 프레임워크를 통해 바탈린-빌코비츠(Batalin-Vilkovisky, BV) 대수와 등급 리 대수를 연결한다.
• 모듈러 쌍을 지닌 호프 대수 $\mathcal{H}$에 대해 콘네-모스코비치 순환 코호몰로지 $HC^{*}_{(\chi,1)}(\mathcal{H})$가 차수 $-2$의 등급 리 대수임을 증명한다.
• 곱을 가진 순환 오페라드의 구조를 통해 대칭 대수의 호크시ลด 코호몰로지가 바탈린-빌코비츠 대수임을 보인다.
• 오페라드와 호몰로지 대수 도구를 사용하여 호크시ลด 및 순환 코호몰로지의 기존 BV 결과들을 통합하고 일반화한다.

제안 방법

• 곱을 가진 순환 오페라드의 개념을 도입한다—이것은 게르스텐하버 대수의 구조를 유도하는 곱을 지닌 코코심플 모듈이다.
• 이러한 오페라드에 대해 정규화된 코チェ인 복합체 $\overline{\mathcal{C}}^{*}(O)$를 정의하고, 그 미분 $d$, 코경계 $B$, 컵 곱 $\cup$, 그리고 조합 곱 $\overline{\circ}$를 분석한다.
• 모든 $f \in \overline{\mathcal{C}}^{m}(O), g \in \overline{\mathcal{C}}^{n}(O)$에 대해 $B(f \cup g) = Z(f,g) + (-1)^{mn}Z(g,f)$ 를 만족하는 차수 $-1$의 이항 연산자 $Z$의 존재를 증명한다.
• 미분 $d$, 코경계 $B$, $Z$, 컵 곱과 조합 곱을 포함한 호모토피 관계를 만족하는 차수 $-2$의 이항 연산자 $H$를 확립한다.
• 혼합 복합체에 대한 콘네의 장기 정 exact 수열을 사용하여 연결 동형사상 $\partial$와 사상 $I$를 통해 순환 코호몰로지에 리 괄호를 정의한다.
• 호프 대수 $\mathcal{H}$에 대해 모듈러 쌍 $(\chi,1)$을 지닌 코바르 구조 $\Omega\mathcal{H}$에 대해 적용하여, 이것이 곱을 가진 순환 오페라드임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프 대수의 코호몰로지에 존재하는 바탈린-빌코비츠 대수의 구조는 어떻게 그 순환 코호몰로지의 구조에서 체계적으로 유도될 수 있는가?
• RQ2 어떤 오페라드의 대수적 구조가 그 코호몰로지가 바탈린-빌코비츠 대수이고, 그 순환 코호몰로지가 차수 $-2$의 등급 리 대수임을 보장하는가?
• RQ3 왜 대칭 대수의 호크시ลด 코호몰로지는 바탈린-빌코비츠 대수의 구조를 지니며, 이는 콘네-모스코비치 순환 코호몰로지와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 코심플 모듈에 대해 컵-코코심플 구조가 존재할 경우, 그것과 관련된 코체인 복합체의 오페라드적 구조와는 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 모듈러 쌍을 지닌 호프 대수 $\mathcal{H}$에 대해 순환 코호몰로지 $HC^{*}_{(\chi,1)}(\mathcal{H})$는 차수 $-2$의 등급 리 대수이다.
• 호프 대수 $\mathcal{H}$에 대해 모듈러 쌍 $(\chi,1)$을 지닌 Cotor 대수 $\text{Cotor}^{*}_{\mathcal{H}}(\Bbbk,\Bbbk)$는 바탈린-빌코비츠 대수이다.
• 곱을 가진 순환 오페라드의 정규화된 코체인 복합체는 콘네의 코경계 연산자 $B$를 통해 바탈린-빌코비츠 대수의 구조를 지닌다.
• 곱을 가진 순환 오페라드의 순환 코호몰로지는 콘네의 장기 정 exact 수열과 연결 동형사상 $\partial$를 통해 차수 $-2$의 등급 리 대수의 구조를 상속한다.
• 대칭 대수의 내적 오페라드는 곱을 가진 순환 오페라드이며, 이는 그 호크시ลด 코호몰로지가 바탈린-빌코비츠 대수임을 설명한다.
• 콘네의 코경계 연산자 $B$를 통한 기존의 호크시ลด 및 순환 코호몰로지의 BV 결과들을 통합하고 일반화하며, 공통의 오페라드적 프레임워크를 제공한다.