[논문 리뷰] Baxter's inequality for finite predictor coefficients of multivariate long-memory stationary processes

Akihiko Inoue, Yukio Kasahara외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 10.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 38인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 장기적 기억성을 가진 정상적 과정에서 유한 예측계수의 다변량 확장을 제시하며, 위상 함수의 푸리에 계수를 통한 새로운 스펙트럼 도메인 표현과 향상된 교차 프로젝션 기법을 사용한다. q-변량 FARIMA 과정에서 공통된 분수 차분 순서를 가진 예측계수와 예측 오차 공분산의 수렴 속도를 증명하며, 장기적 기억성을 가진 과정에 대해 명시적인 감쇠률을 포함하는 최초의 엄밀한 다변량 Baxter의 부등식을 제공한다.

ABSTRACT

For a multivariate stationary process, we develop explicit representations for the finite predictor coefficient matrices, the finite prediction error covariance matrices and the partial autocorrelation function (PACF) in terms of the Fourier coefficients of its phase function in the spectral domain. The derivation is based on a novel alternating projection technique and the use of the forward and backward innovations corresponding to the predictions based on the infinite past and future, respectively. We show that such representations are ideal for studying the rates of convergence of the finite predictor coefficients, prediction error covariances, and the PACF as well as for proving a multivariate version of Baxter's inequality for a multivariate FARIMA process with a common fractional differencing order for all components of the process.

연구 동기 및 목표

• 장기적 기억성을 가진 다변량 정상 과정으로의 Baxter의 부등식 확장을 위해, 기존의 유계 스펙트럼 밀도에 의존하는 증명이 실패하는 경우를 다루는 것.
• 스펙트럼 도메인에서 행렬 값 위상 함수의 푸리에 계수를 사용하여, 유한 예측계수, 예측 오차 공분산, 부분자기상관함수(PACF)에 대한 명시적 표현을 개발하는 것.
• 공통된 분수 차분 순서를 가진 q-변량 FARIMA 과정에서 예측계수와 PACF의 수렴 속도를 확립하는 것.
• 행렬 값 AR 및 MA 계수의 비가환성 문제를 해결하기 위해, 행렬 값 위상 함수의 푸리에 계수와 맞춤형 교차 프로젝션 기법을 도입하는 것.
• 최소한의 조건 하에서 다변량 Baxter의 부등식을 증명하여 이전의 단변량 및 다변량 결과를 향상시키는 것.

제안 방법

• 스펙트럼 도메인에서 행렬 값 위상 함수의 푸리에 계수를 사용하여, 유한 예측계수, 예측 오차 공분산, PACF에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• 다변량 과정에 특화된 향상된 교차 프로젝션 기법을 도입하여, 행렬 값 AR 및 MA 계수의 비가환성 문제를 해결한다.
• 무한 과거 및 미래로부터의 예측에 기반한 정방향 및 역방향 착오 과정을 사용하여 핵심 항등식을 유도한다.
• von Neumann의 교차 프로젝션 프레임워크를 스펙트럼 도메인에 적용하여 정밀한 점근적 분석을 가능하게 한다.
• 감마 함수의 성질과 스펙트럼 조건을 사용하여 계수 수열의 노름을 유 bounds하여 수렴 속도를 확립한다.
• 공통된 분수 차분 순서 d ∈ (0, 1/2)를 가진 q-변량 FARIMA 과정에 결과를 특수화하여 명시적인 감쇠률을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 밀도가 유계가 아닌 다변량 장기적 기억 과정으로 Baxter의 부등식을 확장할 수 있는가?
• RQ2 다변량 FARIMA 과정에서 유한 예측계수, 예측 오차 공분산, PACF의 정확한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 예측계수 표현을 유도할 때, 행렬 값 AR 및 MA 계수의 비가환성 문제는 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ4 다변량 장기적 기억 설정에서 수렴 속도 유도를 가능하게 하는 스펙트럼 도메인 표현은 무엇인가?
• RQ5 공통된 분수 차분 순서 d ∈ (0, 1/2)를 가진 다변량 FARIMA 과정의 유한 예측계수는 무한 수평선 대응계수로 O(n^{-d}) 속도로 수렴하는가?

주요 결과

• d ∈ (0, 1/2)인 q-변량 FARIMA 과정에서, 유한 예측계수는 Theorem 6.8에 의해 무한 수평선 계수로 O(n^{-d}) 속도로 수렴한다.
• n → ∞ 일 때, 예측 오차 공분산 행렬 v_n 및 ṽ_n 이 O(n^{-1-d}) 속도로 감쇠하며, 감마 함수와 g(1)^{-1}을 포함하는 명시적 상수를 가진다. 이는 Theorem 6.5에 명시되어 있다.
• d ∈ (-1/2, 1/2) ⋯ {0} 일 때, 부분자기상관함수 α_n 이 O(n^{-1-d}) 속도로 감쇠하며, 정확한 점근적 행동을 확립한다.
• 유한 예측계수의 노름은 lim_{n→∞} n^{1+d} ||φ_n|| = ||c_0 g(1)^{-1}|| / |Γ(-d)| 를 만족하며, 날카운 점근적 표현을 제공한다.
• d ∈ (0, 1/2)인 다변량 FARIMA 과정에서 Baxter의 부등식이 성립하며, ∑_{j=1}^n ||φ_{n,j} - φ_j|| ≤ K ∑_{j=n+1}^∞ ||φ_j|| 를 만족하는 상수 K 가 존재한다. 이는 Theorem 6.9에서 증명되었다.
• 시간 역전을 통한 역방향 Baxter의 부등식이 확립되었으며, d ∈ (0, 1/2)일 때 ∑_{j=1}^n ||φ̃_{n,j} - φ̃_j|| ≤ K̃ ∑_{j=n+1}^∞ ||φ̃_j|| 를 만족함으로써 수렴 행동의 대칭성을 확인한다.