[논문 리뷰] Bayesian estimation for large scale multivariate Ornstein-Uhlenbeck model of brain connectivity

Andrea Insabato, John P. Cunningham외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 25.

Functional Brain Connectivity Studies참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 뇌 연결성에 대한 대규모 다변량 옴스터하인베르크(mOU) 모델에서 베이지안 추정과 모멘트 방법, 리아파노프 최적화를 비교한다. 연구 결과, 베이지안 추정은 모멘트 방법과 수학적으로 동일하지만, 특히 연결성 추정치의 허수 성분이 증가함에 따라 확산되는 수치적 불안정성과 낮은 확장성으로 인해 리아파노프 최적화보다 유의미하게 낮은 정확도를 보이며, 이는 더 적은 시간 샘플 수로도 실제 fMRI 데이터에서 더 뛰어난 분류 성능을 달성하는 데 기여한다.

ABSTRACT

Estimation of reliable whole-brain connectivity is a crucial step towards the use of connectivity information in quantitative approaches to the study of neuropsychiatric disorders. When estimating brain connectivity a challenge is imposed by the paucity of time samples and the large dimensionality of the measurements. Bayesian estimation methods for network models offer a number of advantages in this context but are not commonly employed. Here we compare three different estimation methods for the multivariate Ornstein-Uhlenbeck model, that has recently gained some popularity for characterizing whole-brain connectivity. We first show that a Bayesian estimation of model parameters assuming uniform priors is equivalent to an application of the method of moments. Then, using synthetic data, we show that the Bayesian estimate scales poorly with number of nodes in the network as compared to an iterative Lyapunov optimization. In particular when the network size is in the order of that used for whole-brain studies (about 100 nodes) the Bayesian method needs about eight times more time samples than Lyapunov method in order to achieve similar estimation accuracy. We also show that the higher estimation accuracy of Lyapunov method is reflected in a much better classification of individuals based on the estimated connectivity from a real dataset of BOLD fMRI. Finally we show that the poor accuracy of Bayesian method is due to numerical errors, when the imaginary part of the connectivity estimate gets large compared to its real part.

연구 동기 및 목표

• 제한된 fMRI 시간 시리즈에서 고차원성을 가진 전뇌 연결성 추정의 과제를 해결한다.
• 대규모 mOU 모델에 대해 베이지안 추정의 성능을 모멘트 방법 및 리아파노프 최적화와 비교 평가한다.
• 특히 수치적 불안정성으로 인해 발생하는 베이지안 방법의 낮은 추정 정확도의 원인을 조사한다.
• 추정 정확도가 추정된 연결성을 기반으로 한 개인의 분류 작업에 미치는 영향을 평가한다.
• 기타 사전 분포나 정규화 기법을 통해 베이지안 추정을 향상시킬 수 있는 잠재적 가능성을 탐색한다.

제안 방법

• 연결 행렬 $C$, 잡음 분산 $\Sigma$, 시간 상수 $\tau_x$ 를 갖는 네트워크 모델로 다변량 옴스터하인베르크(mOU) 과정을 수식화한다.
• 이론적 공분산 $Q^0$ 을 모델 파라미터로부터 계산하기 위해 리아파노프 방정식 $JQ^0 + Q^0J^T + \Sigma = 0$ 을 사용한다.
• 모멘트 방법을 적용하여 $\hat{J}$ 를 $\hat{J} = \frac{1}{\tau} \left[ \log m(\hat{Q}^\tau (\hat{Q}^0)^{-1}) \right]^T$ 로 추정한다. 여기서 $\log m$ 은 행렬 로그이다.
• 균일 사전분포를 사용한 베이지안 추정을 구현하여 모멘트 방법과 동일시하며, 사후 평균 추정치를 계산한다.
• 반복적인 리아파노프 최적화를 통해 공분산 및 지연 공분산 행렬의 오차를 최소화함으로써 추정치를 개선한다.
• 구조적 연결성을 마스크로 사용하여 연결성 추정치를 제약함으로써 해석 가능성과 희박성(스패arsity)을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일 사전분포를 사용할 경우, mOU 모델에 대한 베이지안 추정은 모멘트 방법과 수학적으로 동일한가?
• RQ2 네트워크 크기와 시간 샘플 수 증가에 따라, 베이지안 방법의 추정 정확도가 리아파노프 최적화와 비교해 어떻게 변화하는가?
• RQ3 특히 대규모 뇌 네트워크에서, mOU 모델의 베이지안 추정의 주요 오차 원인은 무엇인가?
• RQ4 리아파노프 최적화로 향상된 추정 정확도는 실제 fMRI 데이터에서의 후속 분류 작업 성능에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 행렬 로그 단계에서의 수치적 불안정성은 연결성 추정치의 허수 부분 대 실수 부분 비율 증가로 기인하는가?

주요 결과

• 균일 사전분포를 사용한 베이지안 추정은 mOU 모델의 모수 추정에서 모멘트 방법과 수학적으로 동일하다.
• 베이지안 방법은 리아파노프 최적화보다 유의미하게 낮은 추정 정확도를 보이며, 100노드 네트워크에서 유사한 성능를 달성하기 위해 약 8배 더 많은 시간 샘플이 필요하다.
• 베이지안 추정의 주요 오차 원인은 행렬 로그 단계에서 발생하는 수치적 불안정성으로, 네트워크 크기가 증가함에 따라 추정된 연결성의 허수 부분이 실수 부분에 비해 비율적으로 급격히 증가하기 때문이다.
• 리아파노프 방법은 실제 fMRI 데이터를 사용한 개인 신원 분류에서 더 높은 정확도를 달성하며, 100번의 랜덤 훈련-테스트 분할에서 바이올린 플롯 분포가 일관되게 뛰어난 성능를 보였다.
• 베이지안 방법의 오차는 공분산 또는 지연 공분산 추정의 열악함 때문이 아니라, 특히 비율 $\hat{\Lambda} = (\hat{Q}^0)^{-1} \hat{Q}^\tau$ 에 대한 행렬 로그 연산 때문임을 확인했다.
• 추정된 연결성의 허수 부분 노름 대 실수 부분 노름 비율은 네트워크 크가 증가함에 따라 증가하며, 이는 행렬 로그에서의 수치적 불안정성이 주요 오차 원인임을 확인한다.