[논문 리뷰] Beating Random Assignment for Approximating Quantum 2-Local Hamiltonian Problems

Ojas Parekh, Kevin Thompson|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 22.

Logic, programming, and type systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 할당의 0.75-근사 한계를 뛰어넘는 첫 번째 고전적 다항시간 근사 알고리즘을 제안한다. 이는 양자 2-Local 하미르토니안 문제에 대해 적용된다. 준거적 프로그래밍의 풀이와 헤르미트 다항식 분석, 그리고 제품 상태로의 새로운 라운딩 기법을 활용하여, 일반적인 랭크-3 프로젝터 사례에 대해 0.764-근사, 엄격하게 이차적인 사례에 대해 0.801-근사(수치적으로 0.821로 추정)를 달성한다. 이는 가장 어려운 케이스로 여겨지는 사례이다.

ABSTRACT

The quantum k-Local Hamiltonian problem is a natural generalization of classical constraint satisfaction problems (k-CSP) and is complete for QMA, a quantum analog of NP. Although the complexity of k-Local Hamiltonian problems has been well studied, only a handful of approximation results are known. For Max 2-Local Hamiltonian where each term is a rank 3 projector, a natural quantum generalization of classical Max 2-SAT, the best known approximation algorithm was the trivial random assignment, yielding a 0.75-approximation. We present the first approximation algorithm beating this bound, a classical polynomial-time 0.764-approximation. For strictly quadratic instances, which are maximally entangled instances, we provide a 0.801 approximation algorithm, and numerically demonstrate that our algorithm is likely a 0.821-approximation. We conjecture these are the hardest instances to approximate. We also give improved approximations for quantum generalizations of other related classical 2-CSPs. Finally, we exploit quantum connections to a generalization of the Grothendieck problem to obtain a classical constant-factor approximation for the physically relevant special case of strictly quadratic traceless 2-Local Hamiltonians on bipartite interaction graphs, where a inverse logarithmic approximation was the best previously known (for general interaction graphs). Our work employs recently developed techniques for analyzing classical approximations of CSPs and is intended to be accessible to both quantum information scientists and classical computer scientists.

연구 동기 및 목표

• 고전적 알고리즘을 사용하여 양자 2-Local 하미르토니안 문제에 대해 오랫동안 지속된 0.75-근사 한계를 극복하기 위해.
• 양자 모멘트 행렬을 제품 상태로 매핑하는 데 새로운 라운딩 기법을 개발하기 위해.
• 물리적으로 관련이 있으며 가장 어려운 사례로 추측되는 엄격하게 이차적 및 추적 없는 2-Local 하미르토니안의 근사 인자를 분석하기 위해.
• 고전적 근사 기법을 증명 가능 보장과 함께 양자 제약 만족 문제에 확장하기 위해.
• 양자 정보 과학자와 고전적 컴퓨터 과학자 모두가 접근할 수 있는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 랭크-3 프로젝터 항을 포함하는 2-Local 하미르토니안 문제를 양자 제약 만족 문제로 재구성하기 위해.
• 이중 큐비트 상태의 모멘트 행렬에 대해 준거적 프로그래밍 풀이를 적용하기 위해.
• 각 간선 항의 기대값을 표현하기 위해 특이값 분해(SVD)와 모멘트 행렬 매개변수화를 사용하기 위해.
• 라운딩 분포 하에서 간선 항의 기대값을 분석하기 위해 헤르미트 다항식 전개를 활용하기 위해.
• SDP 풀이 값과 라운딩 절차에서의 기대값을 연결하기 위해 다각형 위에서 유리 함수에 대한 경계를 유도하기 위해.
• SDP 해를 제품 상태로 매핑하면서 근사 보장을 유지하는 새로운 라운딩 알고리즘을 적용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랭크-3 프로젝터 항이 포함된 2-Local 하미르토니안 문제에 대해 고전적 다항시간 알고리즘이 0.75를 초월하는 근사 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ2 최대 엔트로피 상태이자 대칭적인 엄격하게 이차적 사례가 이 문제에서 가장 어려운 근사 사례인가?
• RQ3 헤르미트 다항식 분석을 사용하여 라운딩 기법 하에서 양자 CSP의 간선 항 기대값을 경계할 수 있는가?
• RQ4 제안된 라운딩 방법이 추적 없는 이분 2-Local 하미르토니안에 대해 상수 인자 근사 성능을 달성하는가? 이는 이전의 역상용 로그 상한보다 향상된 성능이다.
• RQ5 프로젝터로 분해함으로써 비프로젝터, 양의 준정부호 국소 항에 대한 분석을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 일반적인 랭크-3 프로젝터 항이 포함된 2-Local 하미르토니안 문제에 대해 0.764-근사 성능을 보이는 고전적 다항시간 근사 알고리즘을 제시한다. 이는 랜덤 할당의 0.75 한계를 초월한다.
• 엄격하게 이차적 사례—최대 엔트로피 상태이자 대칭적인 사례—에 대해서는 0.801-근사 성능을 달성하며, 수치적 증거는 이 값이 0.821에 도달할 수 있음을 시사한다.
• 저자들은 엄격하게 이차적 사례가 가장 어려운 근사 사례일 것이라고 추측하며, 이 클래스에서의 뛰어난 성능을 보여주는 분석을 통해 이를 뒷받침한다.
• 일반적인 상호작용 그래프에 대해 추적 없는 이분 2-Local 하미르토니안에 대해 상수 인자 근사 성능을 달성하며, 이는 이전의 역상용 로그 상한보다 향상된 성능이다.
• 헤르미트 전개, 모멘트 행렬 제약 조건, 다각형 위에서의 유리 함수 최적화를 결합한 새로운 분석을 통해 라운딩 알고리즘이 효과적임을 입증한다.
• 이 방법은 일반화 가능하며, 프로젝터나 PSD 국소 항을 포함하는 문제에 대해 향후 양자 최적화의 근사 알고리즘 프레임워크를 제공한다.