[논문 리뷰] Beating the curse of dimensionality in options pricing and optimal stopping

David A. Goldberg, Yilun Chen|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 91인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 최적값을 무한히 반복적으로 정의된 하한의 합으로 표현함으로써 고차원 경로의존 옵션 가격 설정과 최적 정지 문제를 해결하기 위한 순수 이중(dua) 알고리즘을 소개한다. 이 방법은 근사 정확도와 중첩 깊이 사이의 트레이드오프를 가능하게 하며, k개 항 이후로 잘라내면 오차 한계가 1/k가 되며, 시간 영역 T에 대해 다항식 시간 복잡도를 가지며 차원에 거의 영향을 받지 않으며, 기저 함수나 사전 분포 지식이 필요로 하지 않는다.

ABSTRACT

The fundamental problems of pricing high-dimensional path-dependent options and optimal stopping are central to applied probability and financial engineering. Modern approaches, often relying on ADP, simulation, and/or duality, have limited rigorous guarantees, which may scale poorly and/or require previous knowledge of basis functions. A key difficulty with many approaches is that to yield stronger guarantees, they would necessitate the computation of deeply nested conditional expectations, with the depth scaling with the time horizon T. We overcome this fundamental obstacle by providing an algorithm which can trade-off between the guaranteed quality of approximation and the level of nesting required in a principled manner, without requiring a set of good basis functions. We develop a novel pure-dual approach, inspired by a connection to network flows. This leads to a representation for the optimal value as an infinite sum for which: 1. each term is the expectation of an elegant recursively defined infimum; 2. the first k terms only require k levels of nesting; and 3. truncating at the first k terms yields an error of 1/k. This enables us to devise a simple randomized algorithm whose runtime is effectively independent of the dimension, beyond the need to simulate sample paths of the underlying process. Indeed, our algorithm is completely data-driven in that it only needs the ability to simulate the original process, and requires no prior knowledge of the underlying distribution. Our method allows one to elegantly trade-off between accuracy and runtime through a parameter epsilon controlling the associated performance guarantee, with computational and sample complexity both polynomial in T (and effectively independent of the dimension) for any fixed epsilon, in contrast to past methods typically requiring a complexity scaling exponentially in these parameters.

연구 동기 및 목표

• 고차원 경로의존 옵션 가격 설정과 최적 정지 문제에서 차원의 저주를 해결하기 위해.
• 기저 함수나 기초 분포에 대한 사전 지식에 의존하지 않는 엄밀한 성능 보장을 갖는 방법을 개발하기 위해.
• 조정 가능한 매개변수 에프리존(epsilon)을 통해 근사 정확도와 계산 복잡도 사이의 체계적인 트레이드오프를 가능하게 하기 위해.
• 기존 방법에서 시간 영역 T에 따라 악화되는 깊은 중첩 조건부 기대값의 필요성을 줄이기 위해.
• 시간 영역 T에 대해 다항식 런타임과 샘플 복잡도를 달성하면서도 차원에 독립적인 성능을 확보하기 위해, 새로운 이중 표현을 통해.

제안 방법

• 이 방법은 네트워크 흐름 유사성에 기반한 순수 이중 공식화를 도입하여 최적값을 반복적으로 정의된 하한의 무한합으로 변환한다.
• 합의 각 항은 중첩 수준에 해당하며, 첫 k개 항은 오직 k단계의 조건부 기대값만 필요로 한다.
• 알고리즘은 k개 항 이후로 급격히 잘라내며, 이로 인해 오차 한계가 1/k로 보장되며, 정확도와 계산 노력 사이의 통제 가능한 트레이드오프가 가능해진다.
• 기초 확률 과정의 샘플 경로를 시뮬레이션하고 잘라낸 합을 효율적으로 계산하는 랜덤 알고리즘을 구성한다.
• 이 방법은 완전히 데이터 기반이며, 확률 과정의 시뮬레이션 능력 외에 분포나 기저 함수에 대한 지식이 필요로 하지 않는다.
• 성능 제어를 위해 매개변수 에프리존(epsilon)을 사용하며, 이로 인해 계산 및 샘플 복잡도가 T에 대해 다항식이며 문제의 차원에 거의 영향을 받지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 함수가 필요로 하지 않으며 엄밀한 오차 한계를 제공하는 이중 기반 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 최적값을 각 항이 제어 가능한 수준의 중첩만 요구하는 합으로 표현할 수 있는가? 이는 확장 가능한 계산을 가능하게 한다.
• RQ3 고차원 환경에서 근사 정확도와 계산 복잡도 사이의 트레이드오프를 체계적으로 공식화하고 제어할 수 있는가?
• RQ4 시간 영역 T에 대해 다항식 복잡도를 달성하면서도 차원에 독립적인 성능을 확보할 수 있는가?
• RQ5 오직 샘플 경로 시뮬레이션에 의존하는 데이터 기반 접근법의 이론적 기초는 무엇인가?

주요 결과

• 최적값은 각 항이 반복적으로 정의된 하한의 기대값인 무한합으로 표현될 수 있으며, 이는 체계적인 근사화를 가능하게 한다.
• k개 항 이후로 급격히 잘라내면 오차가 1/k 이내로 제한되며, 이는 정확도와 계산 노력 사이의 명확한 트레이드오프를 제공한다.
• 이 방법은 기초 과정의 샘플 경로 시뮬레이션 외에 분포나 기저 함수에 대한 사전 지식이 필요로 하지 않으며, 이를 통해 복잡도를 줄인다.
• 계산 및 샘플 복잡도는 시간 영역 T에 대해 다항식이며, 고정된 에프리존(epsilon)에 대해 문제의 차원에 거의 영향을 받지 않는다.
• 다양한 이전의 ADP 및 이중 기반 방법에서의 임의의 기저 함수 선택에 의존하지 않으며, 엄밀한 성능 보장을 달성한다.
• 이 접근법은 고차원 환경에서 확장 가능한 데이터 기반의 가격 설정 및 최적 정지 문제 해결을 가능하게 하며, 새로운 이중 표현을 통해 차원의 저주를 극복한다.