[논문 리뷰] Behavior of solutions to the 1D focusing stochastic nonlinear Schr\"odinger equation with spatially correlated noise

Annie Millet, Alex D Rodriguez외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 18.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 45인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 공간적으로 관련된 웨이너 과정에 의해 구동되는 다중성 소음이 있는 1차원 집중형 슈뢰딩거 방정식을 조사한다. 스트라토노비치 적분을 사용함으로써 질량은 보존되지만 에너지는 확률적으로 변화한다. 수치 시뮬레이션 결과, 공간적으로 관련된 소음은 폭발 중심 위치를 주로 이동시키지만 폭발 프로파일이나 속도에는 영향을 주지 않으며, 특히 강도가 크거나 국소화된 소음일수록 임계 및 초임계적 영역에서 폭발 확률을 감소시킨다.

ABSTRACT

We study the focusing stochastic nonlinear Schr\"odinger equation in one spatial dimension with multiplicative noise, driven by a Wiener process white in time and colored in space, in the $L^2$-critical and supercritical cases. The mass ($L^2$-norm) is conserved due to the multiplicative noise defined via the Stratonovich integral, the energy (Hamiltonian) is not preserved. We first investigate how the energy is affected by various spatially correlated random perturbations. We then study the influence of the noise on the global dynamics measuring the probability of blow-up versus scattering behavior depending on various parameters of correlation kernels. Finally, we study the effect of the spatially correlated noise on the blow-up behavior, and conclude that such random perturbations do not influence the blow-up dynamics, except for shifting of the blow-up center location. This is similar to what we observed in [32] for a space-time white driving noise.

연구 동기 및 목표

• 공간적으로 관련된 다중성 소음이 1차원 집중형 슈뢰딩거 방정식의 에너지 및 전반적 역학에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 소음 상관 구조가 유한 시간 내 폭발 발생 확률와 산산이 흩어지는 행동 간의 영향을 규명하는 것.
• 공간적으로 관련된 소음이 결정론적 경우와 비교해 폭발 프로파일, 속도 또는 중심 위치를 변화시키는지 조사하는 것.
• 이전의 시공간 흰색 소음 연구 결과와 비교하여 L2-임계 및 초임계적 영역에서의 슈뢰딩거 방정식의 확률적 해에 대한 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 스튜디오노비치 적분을 사용하여 슈뢰딩거 방정식에서 L2-노름(질량)의 보존을 보장한다.
• 추적-클래스 공분산을 갖는 Q-웨이너 과정(정규 또는 다항식 감쇠)과 리에즈 또는 지수 핵을 갖는 동질적 웨이너 과정을 통해 소음을 모델링한다.
• 이산 질량과 에너지의 시간에 따른 변화를 추적하기 위해 질량 보존 수치 기법을 사용한다.
• 폭발 확률과 폭발 중심 위치 분포를 추정하기 위해 광범위한 수치 시뮬레이션(1000~3000회 시행)을 수행한다.
• 결정론적 기저 상태와의 비교를 통해 프로파일 수렴과 속도 추적을 통해 폭발 역학을 분석한다.
• 다양한 소음 상관 유형과 파rameter에 대해 에너지 경계와 점근적 에너지 수준을 계산하고 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간적으로 관련된 소음은 1차원 슈뢰딩거 방정식에서 에너지의 시간 진화에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 소음 상관 구조(예: 리에즈 핵 대비 지수 감쇠)는 폭발의 유한 시간 발생 확률에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 공간적으로 관련된 소음은 결정론적 경우와 비교해 폭발 프로파일이나 속도를 변화시키는가?
• RQ4 다른 소음 실현에서 폭발 중심 위치는 어떻게 분포하는가? 그리고 그 분산은 소음 파rameter에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 공간적으로 관련된 소음은 결정론적 설정에서 전역적으로 산산이 흩어지는 초기 데이터에 대해 폭발을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 에너지가 처음에는 증가하고 점점 공간-시간 흰색 소음에서 관찰된 것과 유사한 수평 수준에 수렴함으로써 안정적인 장기 에너지 상태임을 나타낸다.
• 더 큰 소음 강도와 원점 근처의 더 큰 공간 집중도는 L2-임계 및 초임계적 케이스 모두에서 폭발 확률을 감소시키며, 특히 임계 케이스에서 더 뚜렷한 영향을 미친다.
• 공간적으로 관련된 소음은 에너지 및 질량 임계값을 교란시켜 결정론적 해가 전역적으로 존재하는 경우에도 폭발을 유도할 수 있으며, 특히 초임계적 영역에서 그러한 영향이 두드러진다.
• 폭발 프로파일과 속도는 결정론적 경우와 통계적으로 동일하며, 오직 폭발 중심 위치만 확률적으로 이동된다.
• 폭발 중심 위치는 정규 분포를 따르며, 특히 예제 3과 4(리에즈 및 지수 핵)에서 소음 강도 β가 증가할수록 분산이 증가한다.
• 폭발 중심 위치의 평균은 여전히 0 근처에 있지만, β가 증가함에 따라 분산이 크게 증가하여 더 강한 소음에서 폭발 위치의 불확실성이 증가함을 나타낸다.