[논문 리뷰] Being serious about non-commitment: subgame perfect equilibrium in continuous time

Ivar Ekeland, Ali Lazrak|ArXiv.org|2006. 04. 12.

Economic theories and models참고 문헌 24인용 수 158

한 줄 요약

이 논문은 비상수 할인율 하에서 연속시간 모델을 개발하여, 비국소항을 포함한 수정된 해밀턴-자코비-벨만 방정식을 유도한다. 비상수 할인율은 램지 성장모델의 정적 상태에서 결정 불확실성을 유도하지만, 정적 상태는 상수 할인율에서의 작은 변동에 대해 안정성을 유지한다.

ABSTRACT

This paper characterizes differentiable subgame perfect equilibria in a continuous time intertemporal decision optimization problem with non-constant discounting. The equilibrium equation takes two different forms, one of which is reminescent of the classical Hamilton-Jacobi-Bellman equation of optimal control, but with a non-local term. We give a local existence result, and several examples in the consumption saving problem. The analysis is then applied to suggest that non constant discount rates generate an indeterminacy of the steady state in the Ramsey growth model. Despite its indeterminacy, the steady state level is robust to small deviations from constant discount rates.

연구 동기 및 목표

• 비상수 할인율이 존재하는 연속시간 간헐적 최적화 문제에서 미분 가능한 하위게임 완전 균형을 기술하는 것.
• 할인율이 일정하지 않을 경우, 특히 램지 성장모델의 맥락에서 동적 의사결정의 시간 비일관성 문제를 다루는 것.
• 약속이 없는 상황에서도 하위게임 완전 균형이 존재할 조건을 확립하는 것.
• 비상수 할인율이 램지 성장모델의 정적 상태에 미치는 영향, 특히 결정 불확실성에 대한 분석.
• 정적 상태가 상수 할인율에서의 작은 변화에 대해 얼마나 견고한지 보여주는 것.

제안 방법

• 비상수 할인율의 영향을 연속시간에서 기술하기 위해 비국소항을 포함한 수정된 해밀턴-자코비-벨만 방정식을 유도한다.
• 비상수 할인율 하에서 균형을 기술하기 위해 동적 프로그래밍 기법을 적용하여 모든 시간점에서의 일관성을 확보한다.
• 할인 함수에 대한 표준적인 정규성 조건 하에서, 미분 가능한 하위게임 완전 균형이 존재함을 보장하는 국소 존재 결과를 활용한다.
• 균형 조건을 램지 성장모델에 통합하여, 자본의 한계생산과 할인 함수를 연결하는 핵심 방정식을 도출한다.
• Partial integration 및 대체 기법을 사용하여, 비상수 할인율 하에서 정적 상태를 결정하는 데 핵심이 되는 방정식(식 39)을 유도한다.
• 함수 φ(x)의 성질을 사용하여 해의 구조를 분석하며, 오목성 가정 하에 균형 조건이 유일한 타당한 근을 유도함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비상수 할인율이 존재하는 연속시간 동적 최적화 문제에서 하위게임 완전 균형은 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ2 비상수 할인율은 램지 성장모델의 정적 상태의 존재성과 유일성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 약속이 불가능한 상황에서 하위게임 완전 균형이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 할인율이 비상수일 경우 램지 모델의 정적 상태는 어떻게 변화하며, 상수 할인율에서의 작은 변화에 대해 안정적인가?
• RQ5 균형 방정식의 비국소항은 시간 비일관 행동을 어떻게 형성하는가?

주요 결과

• 균형 방정식은 고전적 HJB 방정식과 유사한 형태를 띠지만, 비상수 할인율로 인해 비국소항이 포함되어 있다.
• 비상수 할인율은 램지 성장모델의 정적 상태에서 결정 불확실성을 유도하며, 이는 다수의 정적 상태가 균형 조건을 만족할 수 있음을 의미한다.
• 이러한 결정 불확실성에도 불구하고, 정적 상태 수준은 상수 할인율에서의 작은 변화에 대해 안정성을 유지한다.
• 할인 함수에 대한 표준적인 정규성 조건 하에서, 미분 가능한 하위게임 완전 균형이 존재함을 보장하는 국소 존재 결과를 확립하였다.
• 핵심 방정식(식 39)은 자본의 한계생산과 할인 함수를 연결하며, 이는 정적 상태가 할인 함수의 적분과 그 도함수에 의존함을 보여준다.
• 유한 시간 범위와 특정 할인 함수의 경우, 해는 초월방정식(식 59)을 만족하며, 조건 α ≥ f′(k̄) 하에서 유일한 타당한 해를 갖는다. 이는 식 (42)에 기재된 범위로 이어진다.