[논문 리뷰] Belief functions induced by random fuzzy sets: A general framework for representing uncertain and fuzzy evidence

Thierry Denœux|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 24.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 48인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 불확실성과 흐릿함이 동시에 존재하는 증거를 표현하고 조합하기 위한 일반적 프레임워크인 지식론적 랜덤 흐릿집합(epistemic random fuzzy sets)을 제안한다. 이는 덤퍼-샤프 이론과 가능성 이론을 통합한다. 랜덤 흐릿집합에 의해 유도된 신뢰함수를 모델링함으로써, 가능성이론 기반(possibilistic)과 베이지안 기반(probabilistic) 추론을 일반화된 곱-교차 규칙을 통해 일관적으로 조합할 수 있다.

ABSTRACT

We revisit Zadeh's notion of "evidence of the second kind" and show that it provides the foundation for a general theory of epistemic random fuzzy sets, which generalizes both the Dempster-Shafer theory of belief functions and possibility theory. In this perspective, Dempster-Shafer theory deals with belief functions generated by random sets, while possibility theory deals with belief functions induced by fuzzy sets. The more general theory allows us to represent and combine evidence that is both uncertain and fuzzy. We demonstrate the application of this formalism to statistical inference, and show that it makes it possible to reconcile the possibilistic interpretation of likelihood with Bayesian inference.

연구 동기 및 목표

• 불확실성과 흐릿함이 동시에 존재하는 증거를 다루기 위한 공통의 형식론 하에서 덤퍼-샤프 이론과 가능성 이론을 통합하기.
• 랜덤 흐릿집합에 기반한 일반화를 도입하여 덤퍼의 규칙과 가능성 이론 간의 부적합성을 해결하기.
• 가능성이론적 해석을 갖는 가능도 함수와 베이지안 업데이트를 조화시키는 원칙적인 기반을 제공하기.
• 크리프 집합 또는 흐릿집합만으로 표현하는 것 이상의 증거 표현을 가능하게 하여, 동시에 지식론적 불확실성과 흐릿함을 수용하기.

제안 방법

• 공간 Ω 위의 랜덤 변수 X가 Θ 위의 변수 Y에 대해 조건부 가능도 분포 Π(Y|X=x)를 유도하도록 증거를 지식론적 랜덤 흐릿집합으로 모델링한다.
• 랜덤 집합 Y_{x,u_k}에서의 표본을 이용한 몬테카를로 근사 방법을 통해 신뢰도 및 타당도 함수를 정의하며, 소속도 함수에 대한 최소 및 최대 연산을 사용한다.
• Choquet 적분 기반 정의를 통해 신뢰도 및 타당도를 일반화하여, 흐릿함과 랜덤성을 동시에 갖는 증거의 조합을 가능하게 한다.
• 독립된 증거들을 랜덤-흐릿집합 수준에서 일반화된 곱-교차 규칙을 적용하여 조합함으로써, 불확실성과 흐릿함을 모두 유지한다.
• 가능도 함수를 흐릿집합의 소속도 함수로 해석함으로써 통계적 증거의 일관된 가능성이론적 표현을 가능하게 한다.
• 일반화된 프레임워크를 통해 가능도와 사전확률을 조합하면 일관된 베이지안 업데이트가 이루어지며, 기존의 가능도 기반 신뢰함수에서 발생하는 모순을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 덤퍼-샤프 이론과 가능성 이론을 불확실성과 흐릿함이 동시에 존재하는 증거를 다루기 위한 단일 프레임워크 하에서 통합할 수 있는가?
• RQ2 가능성이론 기반 증거와 베이지안 사전확률의 조합을 단일 형식론 내에서 일관되게 모델링할 수 있는가? 이때 지식론적 불확실성과 흐릿함을 모두 유지할 수 있는가?
• RQ3 자데가 제안한 제2종 증거의 표현에서 랜덤 흐릿집합의 역할은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 곱-교차 규칙은 덤퍼의 규칙과 가능성 이론의 결합 연산자와 어떻게 다를 수 있으며, 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 가능도 함수를 흐릿집합으로 해석함으로써 기존의 신뢰함수 기반 통계적 추론에서 발생하는 모순을 어떻게 해결할 수 있는가?

주요 결과

• x = 28일 때, 시뮬레이션 기반 추정치는 Bel^{(S)} ≈ 0.143 및 Pl^{(S)} ≈ 0.253이며, Choquet 기반 추정치는 Bel^{(C)} ≈ 0.128 및 Pl^{(C)} ≈ 0.236이다.
• 일반화된 프레임워크는 랜덤 흐릿집합 수준에서 증거를 조합함으로써 일관성을 확보하며, 크리프 집합이나 흐릿집합만으로 유도된 신뢰함수를 조합할 때 발생하는 모순을 피한다.
• 가능도 함수를 흐릿집합의 소속도 함수로 해석함으로써, 베이지안 업데이트와 일치하는 일관된 가능성이론적 표현이 가능해진다.
• 이 프레임워크는 랜덤 집합을 통한 덤퍼-샤프 이론과 흐릿집합을 통한 가능성 이론을 모두 포함하는 지식론적 랜덤 흐릿집합 모델에 통합함으로써 가능성이론적 해석과 베이지안 해석을 조화시킨다.
• 일반화된 곱-교차 규칙는 일관성과 단조성을 유지하므로, 불확실성과 흐릿함이 동시에 존재하는 증거의 조합에 적합하다.
• 이 방법은 랜덤 집합을 통한 덤퍼-샤프 이론과 흐릿집합을 통한 가능성 이론을 일반화하며, 두 이론 모두 랜덤 흐릿집합에 의해 유도된 신뢰함수의 특수한 경우로 간주된다.