[논문 리뷰] Benamou-Brenier and duality formulas for the entropic cost on $RCD^*(K,N)$ spaces

Nicola Gigli, Luca Tamanini|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 15.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 28인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 $\mathsf{RCD}^*(K,N)$ 공간에서 엔트로피 비용에 대한 세 가지 동치인 변분 표현을 수립한다: 동역학적 베나무-브레니에 유형 공식, 하미льтوني안-자코비-벨만 쌍대성, 그리고 엔트로피 히폴-렉스 반구간을 사용한 칸토로비치 유형 쌍대성. 핵심 기여는 비미분 가능한 미터 측도 설정에서 고전적 최적 운반 결과를 따르는, 슈뢰딩거 문제에 대한 완전하고 통합된 쌍대성 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we prove that, within the framework of $RCD^*(K,N)$ spaces with $N < \infty$, the entropic cost (i.e. the minimal value of the Schrödinger problem) admits: - a threefold dynamical variational representation, in the spirit of the Benamou-Brenier formula for the Wasserstein distance; - a Hamilton-Jacobi-Bellman dual representation, in line with Bobkov-Gentil-Ledoux and Otto-Villani results on the duality between Hamilton-Jacobi and continuity equation for optimal transport; - a Kantorovich-type duality formula, where the Hopf-Lax semigroup is replaced by a suitable `entropic' counterpart. We thus provide a complete and unifying picture of the equivalent variational representations of the Schrödinger problem (still missing even in the Riemannian setting) as well as a perfect parallelism with the analogous formulas for the Wasserstein distance.

연구 동기 및 목표

• 비미분 가능한 미터 측도 공간에서의 슈뢰딩거 문제에 대해, 원래 워셔슈타인 거리에 대해 개발된 고전적 쌍대성 프레임워크를 확장한다.
• 워셔슈타인 거리의 베나무-브레니에 공식과 유사한, 엔트로피 비용의 동역학적 변분 표현을 수립한다.
• 하미льтوني안-자코비-벨만 쌍대성을 증명하여, HJB 방정식의 하부해와 운동에너지 유사 기능의 최소화를 연결한다.
• 기본 히폴-렉스 반구간이 적절한 엔트로피 대체물로 대체된, 칸토로비치 유형의 쌍대성을 유도한다.
• 리만 기하학 설정에서의 기존 쌍대성 결과를 유한한 $N$을 가진 $\mathsf{RCD}^*(K,N)$ 공간의 더 넓은 범주로 일반화하고 통합한다.

제안 방법

• 유 continuaty 방정식을 만족하는 유동에 대해 시간 적분 운동에너지 기능을 최소화하는 방식으로, 엔트로피 비용에 대해 베나무-브레니에 동역학 공식을 적응한다.
• 역행 HJB 방정식의 하부해를 고려하고, 이와 엔트로피 비용 간의 쌍대 부등식을 통해 하미льтوني안-자코비-벨만 쌍대성을 도입한다.
• 기존의 히폴-렉스 공식을 대체하는 적절한 엔트로피 대응체인 스케일 조정된 엔트로피 히폴-렉스 반구간 $Q_1^\varepsilon u := \varepsilon \log(\mathsf{h}_{\varepsilon/2} e^{u/\varepsilon})$을 사용하여 쌍대 표현을 구성한다.
• 비미분성과 $L^2$ 및 $L^\infty$ 공간에서의 수렴을 보장하기 위해, 열 흐름 $\mathsf{h}_t$와 잘라내기 파rameter $\delta, s > 0$를 사용한 정규화 절차를 활용한다.
• 하부해 $\phi_t$에 대해 $\int \phi_1 \, d\mu_1 - \int \phi_0 \, d\mu_0 \leq \varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1)$라는 쌍대 부등식을 적용하며, 최적의 경우에 등호가 성립한다.
• 슈뢰딩거 문제의 최소해는 각각 HJB 및 포커-플랑크 방정식을 만족하는 쌍대 함수 $\varphi^\varepsilon, \psi^\varepsilon$에 해당한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엔트로피 비용이 $\mathsf{RCD}^*(K,N)$ 공간에서 워셔슈타인 거리의 베나무-브레니에 공식과 유사한 동역학적 변분 공식으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 하부해가 HJB 방정식을 만족할 경우, 엔트로피 비용에 대해 하미льтوني안-자코비-벨만 쌍대성이 존재하는가? 이는 슈뢰딩거 문제에서 최소 운동량과 연결되는가?
• RQ3 엔트로피 비용에 대해 칸토로비치 유형의 쌍대성을 수립할 수 있는가? 이 경우 기존의 히폴-렉스 반구간이 엔트로피 대체물로 대체되는가?
• RQ4 고전적 최적 운반 이론의 쌍대성 결과가 비미분 가능하고, 가능하면 리만 기하학이 아닌 미터 측도 공간에서의 슈뢰딩거 문제로 얼마나 일반화되는가?
• RQ5 엔트로피 운반의 맥락에서, 연속성 방정식과 HJB 방정식 간의 쌍대성은 $\mathsf{RCD}^*(K,N)$ 공간에서 어떻게 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 엔트로피 비용 $\varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1)$는 세 가지 변분 표현을 가진다: 동역학적 베나무-브레니에 유형 공식, 하미льтوني안-자코비-벨만 쌍대성, 칸토로비치 유형 쌍대성.
• 하미льтوني안-자코비-벨만 쌍대성은 역행 HJB 방정식의 하부해 $\phi_t$에 대해 $\int \phi_1 \, d\mu_1 - \int \phi_0 \, d\mu_0 \leq \varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1)$ 부등식을 통해 확립되며, 최대 하부해일 경우 등호가 성립한다.
• 칸토로비치 쌍대성은 $\varepsilon \mathscr{I}_\varepsilon(\mu_0, \mu_1) = \varepsilon H(\mu_1 \mid \mathfrak{m}) + \sup_{u \in \mathbb{V}} \left\{ \int u \, d\mu_0 - \int Q_1^\varepsilon u \, d\mu_1 \right\}$로 주어지며, 여기서 $Q_1^\varepsilon u = \varepsilon \log(\mathsf{h}_{\varepsilon/2} e^{u/\varepsilon})$이다.
• 엔트로피 히폴-렉스 반구간 $Q_1^\varepsilon$는 슈뢰딩거 문제의 쌍대성 프레임워크에서 고전적 히폴-렉스 공식의 적절한 대체물로 입증된다.
• 정규화를 통해 쌍대성 결과는 강건하다: 열 흐름 $\mathsf{h}_t$와 잘라내기 파rameter $\delta, s > 0$를 도입하여 극한으로 최종 쌍대 공식을 도출한다.
• 결과적으로, 고전적 최적 운반 이론의 쌍대 공식은 비미분 가능한 기하학적 구조가 없는 상황에서도 슈뢰딩거 문제로 통합되고 완전하게 일반화된다.