[논문 리뷰] Bent functions generalizing Dillon's partial spread functions

William M. Kantor|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 12.

Coding theory and cryptography참고 문헌 9인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한군의 부분군 분할을 이용한 군론적 구성법을 사용하여 Dillon의 부분 스프레드 벤트 함수를 일반화한다. 지수합을 사용하지 않고 기초적인 세기 원리만을 통해 이러한 함수가 벤트임을 증명한다. 핵심 기여는 아벨이 아닌 군에서 상대적 차집합 집합의 큰 가족을 생성하는 광범위한 종류의 벤트 함수를 제공하는 것으로, 서로 비동치인 구성의 수에 대한 명시적 하한을 제시한다.

ABSTRACT

This note presents generalizations of the partial spread bent functions introduced by Dillon, as well as the corresponding relative difference sets in nonabelian groups.

연구 동기 및 목표

• 부분군의 분할을 이용한 군론적 구조를 통해 Dillon의 부분 스프레드 벤트 함수를 일반화하는 것.
• 지수합에 의존하지 않고 기초적인 세기 원리를 사용하여 아벨이 아닌 군에서 벤트 함수를 구성하는 것.
• 이러한 벤트 함수가 아벨이 아닌 군에서 상대적 차집합 집합을 유도함을 보여주는 것.
• 이러한 구성에서 유도되는 상대적 차집합 집합의 서로 비동치인 수에 하한을 설정하는 것.

제안 방법

• 순서가 $ qN $인 부분군의 집합 $ \Sigma $ 가 존재하는 군 $ G $ (순서가 $ (qN)^2 $) 에서, $ \Sigma $ 가 $ (q-1)N $ 개의 부분군을 포함하고, 상호 간의 교집합이 자명한 조건을 만족하도록 정의한다.
• $ \Sigma $ 를 크기가 $ N $ 인 $ q-1 $ 개의 부분집합 $ \Sigma_i $ 로 분할하고, $ D_i = \bigcup \Sigma_i \setminus \{1\} $ 를 정의하며, $ D_1 = G \setminus \bigcup_{i \neq 1} D_i $ 를 만족하도록 하고, $ f(D_i) = i $ 를 $ i \in H $ 에 대해 설정한다.
• 모든 $ z \neq 1 $ 에 대해 $ G $ 에서와 $ b \in H $ 에 대해, $ f(xz)f(x)^{-1} = b $ 를 만족하는 해의 수가 정확히 $ qN^2 $ 개임을 보여, 교차수 $ (D_c z^{-1}) \cap D_d $ 의 조합적 세기 원리를 사용하여 $ f $ 가 벤트임을 증명한다. 여기서 $ cd^{-1} = b $ 이다.
• 분할 구조와 부분군의 교차 성질을 이용하여 $ |(D_i z^{-1}) \cap D_j| $ 의 크기를 계산하며, $ z $ 가 $ \Sigma_k $ 에 속한 부분군에 포함되는지 여부에 따라 경우를 나누어 분석한다.
• 함수 $ f $ 가 $ H $ 의 군 구조에 관계없이, $ |H| = q $ 이면 항상 벤트임을 보여, $ H $ 가 아벨이 아닐 경우에도 성립함을 확인한다.
• 정리 3.3 에서는 전조화필드와 푸리에 분석을 기반으로 지수합을 사용한 별도의 증명을 제공하며, 모든 $ k \in K^* $, $ u \in V $ 에 대해 $ |\hat{f}_k(u)| = |V|^{1/2} $ 임을 보여, 푸리에 정의에 따라 벤트임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Dillon의 부분 스프레드 벤트 함수는 군론적 부분군 분할을 통해 아벨 군을 초월하여 일반화될 수 있는가?
• RQ2 군 $ G $ 와 부분군의 집합 $ \Sigma $ 가 어떤 조건을 만족해야, $ \Sigma $ 를 분할하여 정의된 함수 $ f: G \to H $ 가 벤트가 되는가?
• RQ3 아벨이 아닌 군에서 이러한 벤트 함수로부터 유도되는 서로 비동치 상대적 차집합 집합은 몇 개인가?
• RQ4 동일한 순서를 가진 비동형 군 $ H $ 에 대해서도 동일한 분할 구조가 벤트 함수를 생성할 수 있는가?
• RQ5 이러한 구성으로부터 유도되는 서로 비동치의 벤트 함수 또는 상대적 차집합 집합의 점점 증가하는 수는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 이 구성은 군의 구조에 관계없이 순서가 $ q $ 인 임의의 군 $ H $ 에 대해 $ f: G \to H $ 의 벤트 함수를 생성하며, 부분군 분할과 세기 원리만을 사용한다.
• 순서가 $ p^{2m} $ 인 기본 아벨 $ p $-군 $ G $ 와 순서가 $ p^s $ 인 임의의 군 $ H $ 에 대해, $ G \times H $ 에서 $ (p^{2m}, p^s, p^{2m}, p^{2m-s}) $-상대적 차집합 집합이 $ p^{p^{m-1} - 9m^2} $ 개 이상의 서로 비동치인 것이 존재한다.
• 이러한 비동치 상대적 차집합 집합의 수는 $ p^{p^{m-1}} $ 를 초과하며, 이 하한은 디사르고스키안 스프레드 내의 가능한 부분집합 $ \Sigma $ 의 수로부터 유도된다.
• 정리 2.2 에 의한 구성은 지수합을 회피하고, 부분군 교차의 조합적 세기 원리에만 의존한다.
• 정리 3.3 의 별도 증명은 푸리에 분석과 전조화필드의 성질을 사용하며, 모든 $ k \in K^* $, $ u \in V $ 에 대해 $ |\hat{f}_k(u)| = |F| $ 임을 보여, 푸리에 정의에 따라 벤트임을 확인한다.
• 즉, $ H $ 가 비동형일지라도 동일한 $ \Sigma $ 의 분할이 서로 다른 벤트 함수를 생성함을 보여, 이는 $ H $ 의 군 유형과 독립적인 구조적 성질을 나타낸다.