[논문 리뷰] Bergman kernels and equilibrium measures for line bundles over projective manifolds

Robert J. Berman|ArXiv.org|2007. 10. 24.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대규모 $k$ 근처에서 복소선다발에 대한 Bergman 커널, 평형 측도, 곡률 측도 사이의 渐近적 등가성을 증명한다. 모든 세 측도가 $1_D (dd^c\theta)^n/n!$로 수렴함을 보이며, 여기서 $D = \{\phi_e = \phi\}$ 이고, $\phi_e$가 증강 기본 위치를 제외한 영역에서 $\mathcal{C}^{1,1}$임을 보여, 고전 결과를 비-적당하고 특이한 계량에 일반화한다.

ABSTRACT

Let L be a holomorphic line bundle over a compact complex projective Hermitian manifold X. Any fixed smooth hermitian metric h on L induces a Hilbert space structure on the space of global holomorphic sections with values in the k th tensor power of L. In this paper various convergence results are obtained for the corresponding Bergman kernels (i.e. orthogonal projection kernels). The convergence is studied in the large k limit and is expressed in terms of the equilibrium metric h_e associated to h, as well as in terms of the Monge-Ampere measure of h on a certain support set. It is also shown that the equilibrium metric h_e is in the class C^{1,1} on the complement of the augmented base locus of L. For L ample these results give generalizations of well-known results concerning the case when the curvature of h is globally positive (then h_e=h). In general, the results can be seen as local metrized versions of Fujita's approximation theorem for the volume of L.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 복소선다발과 임의의 매끄러운 헤르미트 계량에 대해 고전적인 Bergman 커널 渐近적 성질을 적당하고 양의 곡률이 아닌 경우까지 확장한다.
• Bergman 함수와 체적 형식의 극한 행동을 평형 계량 $\phi_e$와 집합 $D = \{\phi_e = \phi\}$의 관점에서 기술한다.
• 증강 기본 위치의 보다 외부에서 평형 계량 $\phi_e$가 $\mathcal{C}^{1,1}$임을 증명한다. 이는 $L$가 적당하지 않더라도 성립한다.
• 측도 수렴을 통해 $L$의 체적에 대한 Fujita의 근사 정리의 국소적 메트릭화된 형태를 제공한다.

제안 방법

• 전역 복소다변수 함수 이론을 사용하여, 양의 곡률를 가지며 $\phi$ 이하인 모든 계량 $\widetilde{\phi} \leq \phi$의 상한으로 평형 계량 $\phi_e$를 정의한다.
• 세 가지 핵심 측도를 구성한다: 평형 측도 $\mu_\phi = (dd^c\phi_e)^n/n!$, 정규화된 Bergman 측도 $k^{-n} B_k \omega_n$, $k$번째 Bergman 체적 형식 $(dd^c(k^{-1}\log K_k(x,x)))^n/n!$.
• 국소 복소다변수 모스 이론과 가중 $L^2$ 추정을 사용하여 Bergman 커널 $K_k(x,y)$와 $k \to \infty$에서의 渐近적 성질을 분석한다.
• Bergman 함수 $B_k(x) = K_k(x,x)e^{-k\phi}$가 로그 좌표계에서 $1_D(x) \cdot \left(\frac{2}{\pi}\right)^n \frac{\det(\partial^2\phi / \partial v_i \partial v_j)}{\det(\partial^2\phi_\Delta / \partial v_i \partial v_j)}$로 수렴함을 증명한다.
• 볼록 콘보리에 이론을 적용하여 토릭 경우에서 $\phi_e$가 $\phi$의 볼록 콘보리임을 보이고, 이를 통해 명시적 渐近적 성질을 유도한다.
• 특이점에서 측도를 0으로 설정함으로써 수렴 결과를 확장하여, 비-적당하고 크기가 큰 선다발에도 적용 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 선다발과 임의의 매끄러운 헤르미트 계량을 가질 때 Bergman 커널의 渐近적 성질은 어떻게 되는가? 특히 곡률이 전역적으로 양이 아닐 경우 어떻게 되는가?
• RQ2 큰 $k$ 근처에서 Bergman 함수와 $k$번째 Bergman 체적 형식의 정확한 극한 측도는 무엇인가?
• RQ3 평형 계량 $\phi_e$는 원래 계량 $\phi$와 어떻게 관련되어 있으며, 어떤 정규성 성질을 갖는가?
• RQ4 Bergman 측도의 수렴은 집합 $D = \{\phi_e = \phi\}$로 표현될 수 있는가? 이는 $\phi$의 몽제-암페르 측도와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 증강 기본 위치는 $\phi_e$의 특이점과 $B_k$의 渐近적 행동에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정규화된 Bergman 측도 $k^{-n} B_k \omega_n$는 $k \to \infty$일 때 약한 수렴으로 $1_D (dd^c\phi)^n/n!$로 수렴한다. 여기서 $D = \{\phi_e = \phi\}$이다.
• $k$번째 Bergman 체적 형식 $(dd^c(k^{-1}\log K_k(x,x)))^n/n!$ 역시 큰 $k$ 근처에서 약한 수렴으로 $1_D (dd^c\phi)^n/n!$로 수렴한다.
• 증강 기본 위치 $\mathbb{B}_+(L)$의 보다 외부에서 평형 계량 $\phi_e$는 $X \setminus \mathbb{B}_+(L)$에서 $\mathcal{C}^{1,1}$이다. 이는 $L$가 적당하지 않더라도 성립한다.
• 토릭 경우에서 평형 계량 $\phi_e$는 로그 좌표계에서 $\phi$의 볼록 콘보리이며, Bergman 함수의 渐近적 성질은 스케일된 다각형 내의 격자점에 대한 합으로 명시적으로 주어진다.
• $D$의 보다 외부에서 $B_k$의 지수 감쇠 비율은 $\sup_X (\phi_e - \phi)$에 의해 결정되며, $\lim_{k\to\infty} \inf_X B_k^{1/k} = e^{-\sup_X (\phi_e - \phi)}$임을 보여, 이는 체비셰프 상수와 앨렉산더 용적과 연결된다.
• 크기가 큰 비-적당한 선다발, 예를 들어 $\mathbb{P}^2$의 블로우업에서 $L = \pi^*\mathcal{O}(1) \otimes [E]$의 경우, $\mathbb{B}_+(L)$에서 $\phi_e \equiv -\infty$임을 보여, $\phi_e$가 전체 증강 기본 위치에서 특이함을 보임을 나타낸다.