[논문 리뷰] Bernstein approximation of optimal control problems

Venanzio Cichella, Isaac Kaminer외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 14.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 38인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 혼합 상태 및 제어 제약 조건을 가진 비선형 최적 제어 문제를 비선형 프로그래밍 문제(NLP)로 변환하기 위해 베르슈타인 다항식 근사법을 사용하는 직접 최적 제어 방법을 제안한다. 이는 NLP 해가 진짜 최적 제어 해로 수렴함을 확립하고, 코스테이트 추정을 위한 코베ector 매핑 정리(Covector Mapping Theorem)를 유도하여, 고유한 코스테이트 방정식 적분 없이도 정확한 수치적 계산이 가능하게 한다.

ABSTRACT

Bernstein polynomial approximation to a continuous function has a slower rate of convergence as compared to other approximation methods. "The fact seems to have precluded any numerical application of Bernstein polynomials from having been made. Perhaps they will find application when the properties of the approximant in the large are of more importance than the closeness of the approximation." -- has remarked P.J. Davis in his 1963 book Interpolation and Approximation. This paper presents a direct approximation method for nonlinear optimal control problems with mixed input and state constraints based on Bernstein polynomial approximation. We provide a rigorous analysis showing that the proposed method yields consistent approximations of time continuous optimal control problems. Furthermore, we demonstrate that the proposed method can also be used for costate estimation of the optimal control problems. This latter result leads to the formulation of the Covector Mapping Theorem for Bernstein polynomial approximation. Finally, we explore the numerical and geometric properties of Bernstein polynomials, and illustrate the advantages of the proposed approximation method through several numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 혼합 상태 및 제어 제약 조건을 가진 비선형 최적 제어 문제를 해결하기 위한 직접 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 특히 이산화 노드 간 제약 위반과 비연속 문제에서의 지브스 현상(Gibbs phenomenon)을 야기하는 페시드로스펙트럴 방법의 한계를 해결하기 위해.
• 균일 수렴성과 유리한 기하학적 성질을 갖춘 이론적으로 일관된 근사 프레임워크를 제공하기 위해.
• 베르슈타인 근사에 대한 새로운 코베ектор 매핑 정리를 통해 정확한 코스테이트 추정을 가능하게 하기 위해.
• 시간적·공간적 제약 조건이 엄격한 문제들에 대해 이 방법의 강건성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 상태 및 제어의 매개변수화를 위해 베르슈타인 다항식 기저 함수를 사용하여 연속 시간 최적 제어 문제를 NLP로 변환한다.
• 역동성과 제약 조건을 NLP 설정에 통합하기 위해 가우스-레지오드 점에서의 콜로케이션을 적용한다.
• 베르슈타인 근사자와 그 도함수의 균일 수렴성을 활용하여 해의 일致성을 보장한다.
• KKT 승수와 원래 최적 제어 문제의 코스테이트를 연결하는 코베ектор 매핑 정리를 도출한다.
• 근사 오차를 제한하기 위해 연속성의 모듈러스와 리프시츠 분석을 적용한다.
• 다중 차량 미션에 대한 수치적 예제를 통해 방법을 검증한다. 이 경우 공간적·시간적 분리 제약 조건이 존재한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베르슈타인 다항식 근사는 혼합 제약 조건을 가진 비선형 최적 제어 문제에 대해 일관되고 수렴 가능한 변환을 제공할 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법은 콜로케이션 점들 사이에서도 전체 시간 간격 동안 제약 조건을 유지하는가?
• RQ3 NLP의 카르쉬-쿠른-터커(Karush-Kuhn-Tucker) 승수를 사용하여 원래 최적 제어 문제의 코스테이트를 추정할 수 있는가?
• RQ4 지그비스 현상(Gibbs phenomenon)이 발생할 수 있는 비연속 최적 제어 문제, 예를 들어 번-번 제어(bang-bang controls)에 대해, 페시드로스펙트럴 방법과 비교해 이 방법은 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ5 베르슈타인 근사가 최적 제어 응용에 유리한 기하학적 및 수치적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 다항식 차수를 증가시킬수록 NLP 해가 진짜 최적 제어 해로 균일 수렴하며, 오차 범위는 $ N^{-1/2} $ 비례한다.
• 이 방법은 이산화 노드 간의 일반적인 제약 위반을 피하면서 전체 시간 간격 동안 제약 조건을 유지한다.
• 코베ектор 매핑 정리는 엄밀하게 유도되었으며, NLP의 KKT 승수로부터 정확한 코스테이트 추정이 가능하게 한다.
• 베르슈타인 근사는 지그비스 현상을 피하여 상태 또는 제어 궤적의 불연속성 근처에서도 정확성을 유지한다.
• 수치 결과는 시간적·공간적 분리 제약 조건이 존재하는 다중 차량 미션에 대해 성공적인 궤적 생성을 보여준다.
• 이 방법은 페시드로스펙트럴 방법이 진동과 정확도 저하를 겪는 번-번 제어 문제에서도 뛰어난 성능을 보인다.