[논문 리뷰] Bernstein-Gelfand-Gelfand complexes and cohomology of nilpotent groups over $\Z_p$ for representations with p-small weights

Patrick Polo, Jacques Tilouine|arXiv (Cornell University)|2000. 12. 12.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 31인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 최고 무게 λ가 p-소작인 경우, 즉 λ ∈ X⁺ ∩ C̄ₚ일 때, Z₍ₚ₎ 위에서 Weyl 모듈러에 대한 약한 일반화된 Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) 분해를 수립한다. 이는 유니포텐트 라디컬 U₋ᴾ의 계수를 갖는 Vℤ₍ₚ₎(λ)에 대한 코homology가 리 군 L의 Weyl 모듈러의 직합과 동형인 필터링을 갖는다는 것을 증명하며, Kostant의 정리가 정수 p-adic 환경으로 확장됨을 보여준다.

ABSTRACT

We show that for $p$small highest weight $λ$, 1) there is a $\Z_p$-integral version of the Bernstein-Gelfand-Gelfand complex, still a direct summand subcomplex of the standard complex for $V(λ)$ 2) Similarly, a $\Z_p$-integral (as well as a mod. p) version of Kostant formula holds true. This paper is a companion paper to the one by Mokrane-Tilouine (AG, subm. 12/12/00), where these results are requested.

연구 동기 및 목표

• 원래 Q 위에서의 Weyl 모듈러 및 코homology에 대한 고전적 결과를 Z₍ₚ₎의 정수 p-adic 환경으로 확장한다.
• λ가 p-소작일 때 Vℤ₍ₚ₎(λ)에 대한 약한 일반화된 BGG 분해를 수립한다.
• U₋ᴾ(ℤ)의 노름화된 군의 호모로지가 L-Weyl 모듈러의 직합과 동형인 필터링을 갖는다.
• U₋ᴾ가 아벨일 때, 분포 대수에 대한 BGG 복합체를 확장한다.
• p-소작 무게에 대해, Vℚ(λ)의 최소, 최대, Young 격자 실현이 Z₍ₚ₎에서 동형이 된다.

제안 방법

• 일반화된 베르마 모듈러 Mₚℤ₍ₚ₎(w(λ+ρ)−ρ)를 관련 계수 조각으로 사용하여 Z₍ₚ₎ 위에서 약한 BGG 분해를 구성한다.
• Hartley의 정리에 기반한 스펙트럴 시퀀스를 적용하여, 노름화된 군 Γ = U₋ᴾ(ℤ)의 호모로지와 그 관련 계수 리 대수 grᵢₛₒₗΓ ≅ 𝔰ᵤ₋ᴾ의 호모로지를 연결한다.
• Pickel의 정리에 의거한 동형 H₊(𝔰ᵤ₋ᴾ, Vℚ(λ)) ≅ H₊(Γ, Vℚ(λ))를 이용해 결과를 정수 코homology로 이행한다.
• 노름화된 필터링을 갖는 모듈러에 대한 호모로지 스펙트럴 시퀀스를 개발하여, Cenkl과 Porter의 코homological 스펙트럴 시퀀스를 대수적으로 일반화한다.
• 분포 대수 Dist(G)와 Dist(P)에 대한 BGG 유형의 복합체를 수립하며, 복합체의 구조로 Λ⁺(𝔤/𝔭) ⊗ Vℤ(λ)를 사용한다.
• Young 대칭자로 V⟨ⁿ⟩ ⊂ V⊗ⁿ에 작용하여 적절한 ℤ-격자 V(λ)ᵧₒᵤₙ₉를 구성하고, 이를 V(λ)ₘᵢₙ 및 V(λ)ₘₐₓ와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kostant의 리 대수 코hom로지 정리가 p-소작 무게에 대해 정수 p-adic 환경 Z₍ₚ₎로 확장되는가?
• RQ2 Vℚ(λ)에 대한 BGG 분해가 λ가 p-소작일 때 Z₍ₚ₎ 위에서 약한 분해로 올라갈 수 있는가?
• RQ3 U₋ᴾ(ℤ)의 노름화된 군의 호모로지가 Vℤ₍ₚ₎(λ)를 계수로 갖는 경우, L-Weyl 모듈러의 직합과 동형인 필터링을 갖는가?
• RQ4 U₋ᴾ가 아벨일 때, Z₍ₚ₎ 위에서 분포 대수에 대한 BGG 복합체가 어떤 조건에서 분해를 만족하는가?
• RQ5 p-소작 무게에 대해, Vℚ(λ)의 최소, 최대, Young 격자 실현이 Z₍ₚ₎에서 동형이 되는가?

주요 결과

• Weyl 모듈러 Vℤ₍ₚ₎(λ)는 관련 계수 조각이 ⊕_{w∈Wᴸ⁽ⁱ⁾} Mₚℤ₍ₚ₎(w(λ+ρ)−ρ)인 약한 일반화된 BGG 분해를 갖는다. 이는 정리 A의 증명이다.
• Kostant의 정리는 Z₍ₚ₎ 위에서도 성립한다: Hᵢ(𝔰ᵤ₋ᴾ, Vℤ₍ₚ₎(λ)) ≅ ⊕_{w∈Wᴸ⁽ⁱ⁾} Vℤ₍ₚ₎ᴸ(w(λ+ρ)−ρ), 정리 B에 따라.
• U₋ᴾ(ℤ)의 호모로지 Hₙ(U₋ᴾ(ℤ), Vℤ₍ₚ₎(λ))는 관련 계수 조각이 ⊕_{w∈Wᴸ⁽ⁿ⁾} Vℤ₍ₚ₎ᴸ(w(λ+ρ)−ρ)인 필터링을 갖는다. 이는 정리 C의 증명이다.
• U₋ᴾ가 아벨일 경우, Z₍ₚ₎ 위에서 BGG 복합체 𝒮₊(G,P,λ)는 𝒮_wℤ₍ₚ₎(G,P,λ)_{χ̄_λ,ₚ} ≅ 𝒪_Pℤ₍ₚ₎(w·λ)를 만족한다. 정리 D에 따라.
• p-소작 λ에 대해, Vℚ(λ)의 최소, 최대, Young ℤ-격자 실현은 Z₍ₚ₎로의 기저 변경 후 동형이 된다. 즉, V(λ)ₘᵢₙ ⊗ Z₍ₚ₎ ≅ V(λ)ᵧₒᵤₙ₉ ⊗ Z₍ₚ₎ ≅ V(λ)ₘₐₓ ⊗ Z₍ₚ₎이다.
• Γ = U₋ᴾ(ℤ)이고 λ가 p-소작일 때, H₊(Γ, M)와 H₊(grᵢₛₒₗΓ, gr M)를 연결하는 스펙트럴 시퀀스는 Kostant의 정리가 Z₍ₚ₎ 위에서 참임으로 인해 E₁에서 분해된다.