[논문 리뷰] Besicovitch Covering Property on graded groups and applications to measure differentiation

Enrico Le Donne, Séverine Rigot|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 34인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 베식코비치 덮개 성질(Besicovitch Covering Property, BCP)을 만족하는 동차 거리가 존재하는 계급화된 군에 대한 완전한 특성화를 수립한다: 이러한 거리가 존재하는 것은 군의 스텝이 1 또는 2일 때에만 가능하다. 핵심 결과는 계층화된 군이 BCP를 만족하는 동차 거리를 지닌다는 것과, 그로 인해 국소 유한 Borel 측도의 미분이 가능해진다는 것이다. 이는 군의 스텝이 1 또는 2일 때에만 성립한다. 증명은 리 대수의 계급화에서 서로 다른 계층 간의 교환법칙을 분석하고, 고정된 스텝 이상인 군에서의 비리만노프 거리가 BCP를 만족하지 못함을 보여주는 블로업 기법을 사용한다.

ABSTRACT

We give a complete answer to which homogeneous groups admit homogeneous distances for which the Besicovitch Covering Property (BCP) holds. In particular, we prove that a stratified group admits homogeneous distances for which BCP holds if and only if the group has step 1 or 2. These results are obtained as consequences of a more general study of homogeneous quasi-distances on graded groups. Namely, we prove that a positively graded group admits continuous homogeneous quasi-distances satisfying BCP if and only if any two different layers of the associated positive grading of its Lie algebra commute. The validity of BCP has several consequences. Its connections with the theory of differentiation of measures is one of the main motivations of the present paper. As a consequence of our results, we get for instance that a stratified group can be equipped with some homogeneous distance so that the differentiation theorem holds for each locally finite Borel measure if and only if the group has step 1 or 2. The techniques developed in this paper allow also us to prove that sub-Riemannian distances on stratified groups of step 2 or higher never satisfy BCP. Using blow-up techniques this is shown to imply that on a sub-Riemannian manifold the differentiation theorem does not hold for some locally finite Borel measure.

연구 동기 및 목표

• 계급화된 군 중에서 연속적인 동차 준거리가 존재하고, 이가 베식코비치 덮개 성질(BCP)을 만족하는 군을 특정하는 것.
• 계층화된 군에서 BCP와 측도의 미분 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 계층화된 군의 스텝이 ≥3인 경우, 비리만노프 거리가 BCP를 만족하지 않는다는 것을 입증하는 것.
• BCP가 유한한 위상 차원을 유도하는지 여부를 조사하며, 비이중성 공간에서 BCP를 만족하는 BiLipschitz 동치 거리가 존재하는지 여부를 탐구하는 것.

제안 방법

• 계급화된 리 대수와 그에 대응하는 리 군의 구조를 분석하며, 계급화에서 서로 다른 계층 간의 교환법칙에 초점을 맞춘다.
• 확대 변환에 대해 1-호모제너스이자 좌이항 불변인 동차 준거리를 도입하고 이를 연구한다.
• 스텝 ≥2인 카르노 군에서의 비리만노프 거리의 국소 기하학을 분석하기 위해 블로업 기법을 적용한다.
• 아소드의 임bedding 정리를 사용하여, 모든 이중성 거리 공간이 BCP를 만족하는 BiLipschitz 동치 준거리를 지닌다는 것을 보인다.
• BCP와 국소 유한 Borel 측도에 대한 미분 정리의 존재 간의 등가성을 활용한다.
• 계급화된 군의 리 대수에서 서로 다른 두 계층이 서로 교환되지 않으면, 어떤 동차 준거리도 BCP를 만족하지 못한다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 계급화된 군에서 BCP를 만족하는 동차 준거리가 존재하는가?
• RQ2 계층화된 군의 스텝과 그 동차 거리에 대한 BCP의 성립 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 계층화된 군에서 국소 유한 Borel 측도의 미분이 동차 거리를 통해 보장될 수 있는가? 그 조건은 군의 스텝이 1 또는 2일 때에만 성립하는가?
• RQ4 스텝 ≥3인 카르노 군에서의 비리만노프 거리가 BCP를 만족하는가? 이는 측도의 미분에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 유한한 위상 차원은 BCP를 만족하는 BiLipschitz 동치 거리의 존재에 필수적일까, 충분한가?

주요 결과

• 양의 계급화된 군이 BCP를 만족하는 연속적인 동차 준거리를 지닌다. 이는 그 리 대수의 서로 다른 두 계층이 모두 상호 교환될 때에만 성립한다.
• 계층화된 군이 BCP를 만족하는 동차 거리를 지닌다. 이는 군의 스텝이 1 또는 2일 때에만 성립한다.
• 스텝 ≥3인 계층화된 군에서의 비리만노프 거리는, 블로업 기법을 통해 BCP를 만족하지 못한다는 것이 입증되었다.
• 비리만노프 다양체에서는 BCP의 부재로 인해 일부 국소 유한 Borel 측도에 대한 미분 정리가 실패한다.
• 모든 이중성 거리 공간에서는 BCP를 만족하는 BiLipschitz 동치 준거리가 존재함이 보장되지만, 군의 계층 간에 교환되지 않는 경우 그 거리는 동차일 수 없다.
• BCP를 만족하는 거리 공간의 위상 차원은 유한하지만, BCP를 만족하는 BiLipschitz 동치 거리가 존재하지 않는 유한차원 공간도 존재한다.