[논문 리뷰] Bessel functions and local converse conjecture of Jacquet

Jingsong Chai|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 19.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 필드 위의 $GL_n(F)$에 대해 Jacquet의 국소 대체 추측을 증명한다. 즉, 모든 $1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 및 모든 $GL_r(F)$의 일반적 $ ho$에 대해 국소 감마 함수 $ olinebreak[4]\gamma(s, \pi_1 \times \rho, \psi) = \gamma(s, \pi_2 \times \rho, \psi)$의 등식이 성립하면 $ olinebreak[4]\pi_1 \cong \pi_2$임을 보인다. 증명은 윌리엄슨 함수와 화이트커 모델 내의 Howe 벡터를 사용하여, 감마 함수의 등식이 윌리엄슨 함수의 등식을 유도함을 보이며, 이는 약한 커널 공식을 통해 표현을 유일하게 결정함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we prove the local converse conjecture of Jacquet over p-adic fields for GL(n) using Bessel functions.

연구 동기 및 목표

• 국소 대체 추측을 $p$-진 필드 위의 $GL_n(F)$에 대해 증명한다.
• 모든 $1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 및 모든 $GL_r(F)$의 일반적 $ ho$에 대해 국소 감마 함수 $\gamma(s, \pi \times \rho, \psi)$의 등식이 성립하면, 일반적 표현 $ olinebreak[4]\pi_1$과 $ olinebreak[4]\pi_2$가 서로 동형임을 보인다.
• 약한 커널 공식을 통해 윌리엄슨 함수가 표현을 동형을 제외하고 유일하게 결정함을 보인다.
• 감마 함수의 등식이 화이트커 모델 내의 정규화된 Howe 벡터의 등식을 이끌어내며, 이는 윌리엄슨 함수의 등식으로 이어진다.

제안 방법

• 약한 커널 공식을 사용하여 윌리엄슨 함수 $j_\pi$ 가 $\pi$ 를 동형을 제외하고 결정함을 보인다.
• 문제를 대각 행렬 $a$ 및 최장 Weyl 원소 $\omega_n$ 에서 정규화된 Howe 벡터 $W^1_{v_m}(a\omega_n) = W^2_{v_m}(a\omega_n)$ 의 등식을 증명하는 것으로 단순화한다.
• $GL_{2r+1}(F) \times GL_r(F)$ 위의 Rankin-Selberg 적분을 구성하여 감마 함수와 화이트커 함수를 연결한다.
• Shahidi의 공식을 적용하여 국소 계수 $C(s, \tau_i \otimes \sigma)$ 가 감마 함수의 등식 조건 하에서 $C(s, \tau_1 \otimes \sigma) = C(s, \tau_2 \otimes \sigma)$ 임을 보인다.
• 감마 함수의 곱성과 $(2r+1,2r)$-국소 대체 정리 를 이용하여 $\tau_1 \cong \tau_2$ 를 유도한다.
• Bernstein-Zelevinsky 분류를 적용하여 $\tau_1 \cong \tau_2$ 에서 $\pi_1 \cong \pi_2$ 를 유추한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 및 모든 $GL_r(F)$의 일반적 $ olinebreak[4]\rho$ 에 대해 국소 감마 함수 $ olinebreak[4]\gamma(s, \pi_1 \times \rho, \psi) = \gamma(s, \pi_2 \times \rho, \psi)$ 가 성립하면, $GL_n(F)$의 일반적 $ olinebreak[4]\pi_1, \pi_2$ 에 대해 $ olinebreak[4]\pi_1 \cong \pi_2$ 가 성립하는가?
• RQ2 감마 함수의 등식이 성립할 때 윌리엄슨 함수를 사용하여 표현의 동형을 확립할 수 있는가?
• RQ3 화이트커 모델 내의 정규화된 Howe 벡터는 표현의 구조를 어느 정도 반영하는가?
• RQ4 Rankin-Selberg 적분과 Shahidi의 공식을 어떻게 사용하여 감마 함수와 국소 계수, 화이트커 함수를 연결할 수 있는가?
• RQ5 약한 커널 공식은 초구속 표현의 경우 윌리엄슨 함수로부터 표현을 복원하는 데에 충분한가?

주요 결과

• Bessel 함수와 Howe 벡터를 사용하여 $p$-진 필드 위의 $GL_n(F)$ 에 대해 Jacquet의 국소 대체 추측이 증명되었다.
• 모든 $1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 에 대해 국소 감마 함수 $ olinebreak[4]\gamma(s, \pi_1 \times \rho, \psi) = \gamma(s, \pi_2 \times \rho, \psi)$ 가 성립하면, 기약 유니타리 초구속 표현에 대해 $ olinebreak[4]\pi_1 \cong \pi_2$ 임을 보였다.
• 감마 함수의 등식 조건 하에서 모든 대각 행렬 $a$ 에 대해 정규화된 Howe 벡터 $W^1_{v_m}(a\omega_n)$ 과 $W^2_{v_m}(a\omega_n)$ 가 서로 같다.
• Bessel 함수 $j_\pi$ 는 약한 커널 공식을 통해 표현 $\pi$ 를 동형을 제외하고 유일하게 결정한다.
• 가정 조건 하에서 국소 계수 $C(s, \tau_i \otimes \sigma)$ 는 $i=1,2$ 에 대해 동일하며, 이는 $\tau_1$ 과 $\tau_2$ 의 동형을 이끌어낸다.
• Bernstein-Zelevinsky 분류를 통해 $\tau_1 \cong \tau_2$ 에서 $\pi_1 \cong \pi_2$ 를 유도함으로써 증명이 완료되었다.