[논문 리뷰] Best approximation on semi-algebraic sets and k-border rank approximation of symmetric tensors

Shmuel Friedland, Małgorzata Stawiska|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 07.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 12인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 대칭 텐서의 최적 $k$-경계 랭크 근사가 유일하고 대칭임을 보장하는 조건을 설정한다. 준대수기하학과 미분위상수학을 사용하여, $k \leq N(m,d)$ 인 경우, 대칭 텐서의 열린 준대수기하집합이 최적의 대칭 $k$-경계 랭크 근사를 유일하게 가짐을 증명하며, 반반의 정리에서 랭크-일의 근사로의 일반화를 고려한 경계 랭크 $k \geq 2$로 확장한다.

ABSTRACT

In the first part of this paper we study a best approximation of a vector in Euclidean space R^n with respect to a closed semi-algebraic set C and a given semi-algebraic norm. Assuming that the given norm and its dual norm are differentiable we show that a best approximation is unique outside a hypersurface. We then study the case where C is an irreducible variety and the approximation is with respect to the Euclidean norm. We show that for a general point in x in R^n the number of critical points of the distance function of x to C is bounded above by a degree of a related dominant map. If C induces a smooth projective variety in V_P in P(C^n) then this degree is the top Chern number of a corresponding vector bundle on V_P. We then study the problem when a best k(> 1)-border rank approximation of a symmetric tensor is symmetric. We show that under certain dimensional conditions there exists an open semi-algebraic set of symmetric tensors for which a best k-border rank is unique and symmetric.

연구 동기 및 목표

• 최적 $k$-경계 랭크 근사가 대칭이고 유일한 조건을 규명하는 것.
• 반반의 정리에서 대칭 랭크-일 근사로의 일반화를 고려한 높은 경계 랭크($k \geq 2$)로의 확장.
• 최적 $k$-경계 랭크 근사가 동시에 유일하고 대칭인 대칭 텐서의 집합을 특성화하는 것.
• 최적 $k$-경계 랭크 근사가 대칭임을 보장하는 열린 준대수기하집합의 존재를 확립하는 것.
• 최상위 체른 수치와 같은 위상적 불변량을 사용하여 근사 문제의 임계점 수를 경계하는 것.

제안 방법

• 다른 함수 노름과 그 쌍대 노름이 미분 가능할 때, $C \subset \mathbb{R}^n$ 에서 닫힌 준대수기하집합에 대한 최적 근사를 분석한다.
• 노름과 그 쌍대가 미분 가능할 경우, 초표면 외부에서 최적 근사의 유일성을 보여주는 미분위상수학을 사용한다.
• 매끄러운 프로젝티브 다양체 $V_{\mathbb{P}} \subset \mathbb{P}(\mathbb{C}^n)$ 에 대한 거리 함수의 임계점 수를 관련 벡터 번들의 최상위 체른 수치로 경계한다.
• 임계점 결과를 대칭 텐서 공간 $\mathrm{S}(d,m,\mathbb{R})$ 와 $k$-경계 랭크 텐서의 다양체 $\mathcal{R}(k,m^{\times d})$ 에 적용한다.
• 크루스칼의 정리를 사용하여 $\mathcal{R}(k,m^{\times d})$ 내에서 일반적인 대칭 텐서의 랭크 $k$ 가 매끄럽음을 검증한다.
• 준대수기하집합과 준대수적 집합 이론을 사용하여, 최적 $k$-경계 랭크 근사가 대칭이고 유일한 열린 집합의 존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 텐서의 최적 $k$-경계 랭크 근사가 대칭이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반적인 대칭 텐서에 대해 $k \geq 2$ 일 때 최적 $k$-경계 랭크 근사가 유일한가?
• RQ3 반반의 정리에서 대칭 랭크-일 근사가 높은 경계 랭크로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 준대수기하집합에 대한 최적 근사 문제에서 임계점 수의 위상적 경계는 무엇인가?
• RQ5 최적의 대칭 $k$-경계 랭크 근사가 유일하지 않은 대칭 텐서의 집합은 내부가 비어 있는가?

주요 결과

• 모든 $k \leq N(m,d)$ 에 대해, $\mathrm{S}(d,m,\mathbb{R})$ 내에 최적 $k$-경계 랭크 근사가 동시에 유일하고 대칭인 열린 준대수기하집합이 존재한다.
• 최적 랭크-일 근사가 유일하지 않은 대칭 텐서의 집합은 초표면에 포함되어 있으므로 내부가 비어 있다.
• 모든 $m \geq 2$, $d \geq 3$, $k \leq N(m,d)$ 에 대해, 일반적인 대칭 텐서의 최적 $k$-경계 랭크 근사는 대칭이고 유일하다.
• 일반적인 점에서 매끄러운 프로젝티브 다양체 $V_{\mathbb{P}}$ 까지의 거리 함수의 임계점 수는 관련 벡터 번들의 최상위 체른 수치로 경계된다.
• $\mathrm{dist}(\cdot, \mathcal{R}(1,m^{\times d}))$ 를 $\mathrm{S}(m,d,\mathbb{R})$ 에 제한했을 때, 이 함수는 $\dim \mathrm{S}(m,d,\mathbb{R})$ 보다 작은 차원의 준대수기하집합에서 미분 가능하지 않으며, 이는 비유일성이 오직 작은 집합에서만 발생함을 의미한다.
• 최적 랭크-일 근사가 유일하지 않은 대칭 텐서의 집합 $W$ 는 열린 집합을 포함하지 않으며, 초표면 $H$ 에 포함되어 있다.