[논문 리뷰] Best constants and existence of maximizers for weighted Moser-Trudinger inequalities

Mengxia Dong, Guozhen Lu|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 19.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비원형 대칭 함수에 대해 날카로운 가중 모스어-트루딩어 부등식을 $ℝ^N$에서 유도하며, 최적의 상수를 명시적으로 제공하고 최대화자가 존재함을 증명한다. 이는 이전 결과를 확장하여 원형 대칭 조건을 제거하고, 임계 지수 $α_{N,t} = (N-t)\omega_{N-1}^{1/(N-1)}$ 가 최적이며, 모든 $u \in L^N(\mathbb{R}^N; |x|^{-s}dx) \cap \dot{W}^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ 에 대해 $∣\nabla u\u2223_{L^N} \leq 1$ 를 만족할 때 균일하게 부등식이 성립함을 보여준다. 이 결과들은 기하학적 분석과 편미분방정식 분야에서 이전의 부등식들을 일반화하고 강화한다.

ABSTRACT

In this paper, we will establish the best constants for certain classes of weighted Moser-Trudinger inequalities on the entire Euclidean spaces $\mathbb{R}^N$. We will also prove the existence of maximizers of these sharp weighted inequalities. The class of functions considered here are not necessarily spherically symmetric. Our inequality in Theorem 1.1 improves the earlier one where such type of inequality was only considered for spherically symmetric functions by M. Ishiwata, M. Nakamura, H. Wadade in \cite{INW} (except in the case $s ot=0$). Since $\int_{\mathbb{R}^N}Φ_N(α|u|^{N/(N-1)})\frac{dx}{|x|^t}\le \int_{\mathbb{R}^N}e^{α|u|^{N/(N-1)}}|u|^N\frac{dx}{|x|^t}$, our inequality in Theorem 1.2 is stronger than the inequality in Theorem 1.1. We note that it suffices for us to prove the above inequalities for all functions not necessarily radially symmetric when $s=t$ by the well-known Caffareli-Kokn-Nirenberg inequalities \cite{CKN}.

연구 동기 및 목표

• 비원형 대칭 함수에 대해 $ℝ^N$에서 날카로운 가중 모스어-트루딩어 부등식을 수립하기.
• 중량 $|x|^{-t}$ 를 포함한 부등식에서 최적의 상수 $\alpha_{N,t}$ 를 결정하기.
• 원형 대칭 조건을 가정하지 않고 날카로운 가중 부등식의 최대화자 존재성을 증명하기.
• 특히 $s \neq 0$ 인 경우에 한하여 원형 대칭 함수에 국한된 이전 결과를 확장하기.
• 고르지 않은 도메인과 동차 중량, 임계 지수를 갖는 고전적 모스어-트루딩어 부등식을 일반화하기.

제안 방법

• 저자들은 모스어-트루딩어 임bedding의 지수 성장을 모델링하기 위해 함수 $\Phi_N(t) = \sum_{j=N-1}^\infty \frac{t^j}{j!}$ 와 오르리츠 공간 프레임워크를 사용하여 날카로운 부등식을 유도한다.
• 집중-콤팩트성 접근법을 활용하여 가중 기능의 Supremum을 분석하고, 약한 수렴과 엄밀한 볼록성 논증을 통해 최대화자 존재성을 증명한다.
• 비원형 함수를 다룰 때 $s = t$ 인 경우, 케프레리-코른-니레버그 부등식을 활용하여 가중 $L^N$ 공간으로의 콤���트 임베딩을 보장한다.
• 변분 방법을 사용하여 최대화 수열의 약한 극한이 Supremum을 달성함을 보이며, 모순과 에너지 추정을 통해 $\u2223\nabla v\u2223_{L^N} = 1$ 이 성립함을 증명한다.
• 가중 $L^N$ 노름과 지수 적분을 비교하여 기울기 노름에 하한을 도출함으로써 정규화에서 등호가 성립하도록 유도한다.
• 분석 과정에서 $\alpha \to \alpha_{N,t}^-$ 일 때 Supremum의 정밀한 점근적 추정을 포함하며, $\alpha \geq \alpha_{N,t}$ 인 경우 붕괴 행동을 보임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수에 원형 대칭 조건을 부여하지 않을 경우, $ℝ^N$에서 가중 모스어-트루딩어 부등식의 최적 상수 $\alpha_{N,t}$ 는 무엇인가?
• RQ2 원형 대칭 조건 없이 날카로운 가중 모스어-트루딩어 부등식의 최대화자 존재성을 어떻게 확보할 수 있는가?
• RQ3 임계 지수 $\alpha_{N,t} = (N-t)\omega_{N-1}^{1/(N-1)}$ 는 $\alpha > \alpha_{N,t}$ 일 때 부등식의 실패와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 부등식에서 중량 $|x|^{-N}$ 을 $q > N$ 인 $|x|^{-q}$ 로 대체할 수 있는 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 Supremum 의 정밀한 점근적 행동은 $\alpha \to \alpha_{N,t}^-$ 일 때 어떻게 되며, 이는 $N$, $t$, 및 $\beta$ 와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 부등식 $\int_{\mathbb{R}^N} \Phi_N(\alpha |u|^{N/(N-1)}) \frac{dx}{|x|^t} \leq C \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u|^N}{|x|^s} dx \right)^{(N-t)/(N-s)}$ 의 최적 상수는 $\alpha_{N,t} = (N-t)\omega_{N-1}^{1/(N-1)}$ 이며, 이는 날카롭다: $\alpha > \alpha_{N,t}$ 일 때는 균일한 $C$ 가 존재하지 않는다.
• 부등식은 $\u2223\nabla u\u2223_{L^N} \leq 1$ 를 만족하는 모든 $u \in L^N(\mathbb{R}^N; |x|^{-s}dx) \cap \dot{W}^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ 에 대해 성립하며, 이는 $u$ 가 원형 대칭이 아닐 때에도 성립한다.
• 원형 대칭 조건 없이도 날카로운 부등식의 최대화자 존재성이 증명되었으며, 최대화 수열의 약한 극한이 $\u2223\nabla v\u2223_{L^N} = 1$ 을 만족함을 보여서 이를 증명하였다.
• 유사한 조건 하에서 더 강력한 부등식 $\int_{\mathbb{R}^N} e^{\alpha |u|^{N/(N-1)}} |u|^N \frac{dx}{|x|^t} \leq C \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u|^N}{|x|^s} dx \right)^{(N-t)/(N-s)}$ 도 성립하며, $\Phi_N$-버전보다 더 날카롭다.
• 정리 C 에서 정의된 Supremum $AT(\alpha, \beta)$ 는 $\alpha \to \alpha_N^-$ 일 때 $\left(1 - (\alpha/\alpha_N)^{N-1}\right)^{-(N-\beta)/N}$ 의 순서로 점근적 경계를 만족하며, $\alpha_N$ 의 날카로움을 확인한다.
• 부등식에서 중량 $|x|^{-N}$ 을 $q > N$ 인 $|x|^{-q}$ 로 대체할 수 있으며, 이 경우에도 동일한 최적 상수 $\alpha_{N,t}$ 가 유지되어 적용 범위가 확장된다.