[논문 리뷰] Beyond formulas-as-cographs: an extension of Boolean logic to arbitrary graphs

Cameron Calk, Anupam Das외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 27.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고전적 부울 논리의 그래프 이론적 확장인 부울 그래프 논리(BGL)를 제안하며, 공식을 임의의 그래프로 일반화하고 부울 관계를 통해 多가치 의미론을 사용한다. BGL의 복잡도(평가에 대해 NP-완전, 함의에 대해 Π²ₚ-완전), 게임 이론적 특성화, 그리고 심층 추론 스타일의 공리체계를 수립하여 기존의 부울 논리 선형 공리체계에 대한 알려진 금기 법칙을 회피함을 보여준다.

ABSTRACT

We propose a graph-based extension of Boolean logic called Boolean Graph Logic (BGL). Construing formula trees as the cotrees of cographs, we may state semantic notions such as evaluation and entailment in purely graph-theoretic terms, whence we recover the definition of BGL. Naturally, it is conservative over usual Boolean logic. Our contributions are the following: (1) We give a natural semantics of BGL based on Boolean relations, i.e. it is a multivalued semantics, and show adequacy of this semantics for the corresponding notions of entailment. (2) We show that the complexity of evaluation is NP-complete for arbitrary graphs (as opposed to ALOGTIME-complete for formulas), while entailment is $Π^p_2$-complete (as opposed to coNP-complete for formulas). (3) We give a 'recursive' algorithm for evaluation by induction on the modular decomposition of graphs. (Though this is not polynomial-time, cf. point (2) above). (4) We characterise evaluation in a game-theoretic setting, in terms of both static and sequentical strategies, extending the classical notion of positional game forms beyond cographs. (5) We give an axiomatisation of BGL, inspired by deep-inference proof theory, and show soundness and completeness for the corresponding notions of entailment. One particular feature of the graph-theoretic setting is that it escapes certain no-go theorems such as a recent result of Das and Strassburger, that there is no linear axiomatisation of the linear fragment of Boolean logic (equivalently the multiplicative fragment of Japaridze's Computability Logic or Blass' game semantics for Mutliplicative Linear Logic).

연구 동기 및 목표

• 공식(즉, cograph)을 초월하여 임의의 그래프로 부울 논리의 그래프 기반 일반화를 개발함으로써, 공식의 의미론을 임의의 그래프로 확장한다.
• 부울 관계를 기반으로 한 다가치 의미론을 제공하여, 고전적 부울 논리보다 더 풍부한 함의 개념을 가능하게 한다.
• BGL에서 평가 및 함의의 계산 복잡도를 분석하여, 표준 부울 논리와 비교해 증가된 복잡도를 보인다.
• 정적 및 순차 전략을 사용하여 cograph 제약 조건을 초월한 평가의 게임 이론적 특성화를 확장한다.
• 선형 공리체계의 제약을 피하는 타당성과 완전성 보장을 받는 BGL에 대한 심층 추론 스타일의 공리체계를 구축한다.

제안 방법

• 진리 값이 부울 함수가 아닌 관계 만족을 통해 할당되는 부울 관계로서 그래프를 부울 관계로 해석하는 의미론적 해석.
• 코트리, 모듈러 분해, 공존 구조와 같은 그래프 이론적 개념을 사용하여 평가 및 함의를 정의한다.
• 모듈러 분해를 사용해 BGL 공식을 재귀적으로 평가하되, 전체 평가가 여전히 NP-완전임을 고려한다.
• 정적 및 순차 전략을 게임 이론적 프레임워크에서 도입하여 평가를 특성화하고, 위치 기반 게임 형태를 일반화한다.
• 지역적 재작성과 구조적 유연성을 允허하는 심층 추론 기반의 증명 체계를 설계한다.
• 그래프에 정의된 의미론적 함의 관계에 대해 증명 체계의 타당성과 완전성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공식(즉, cograph)을 초월해 임의의 그래프로 부울 논리를 의미적으로 확장할 수 있는가? 이 경우 논리적 구조와 의미론이 유지되는가?
• RQ2 이러한 일반화된 논리에서 평가 및 함의의 계산 복잡도는 무엇이며, 고전적 부울 논리와 어떻게 다를까?
• RQ3 정적 및 순차 전략을 사용하여 cograph 제약 조건을 초월한 이 일반화된 논리에서 평가를 특성화할 수 있는가?
• RQ4 이 확장된 논리에 대해 타당성과 완전성을 보장하는 증명 체계가 존재하는가? 이는 이전의 선형 공리체계 결과의 제약을 피하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 부울 논리의 선형 부분의 공리체계 불가능성에 대한 알려진 금기 법칙을 회피할 수 있는가?

주요 결과

• BGL에서의 평가는 임의의 그래프에 대해 NP-완전이지만, 고전적 부울 논리에서의 공식에 대해서는 ALOGTIME-완전이다.
• BGL에서의 함의는 coNP-완전인 표준 부울 논리의 함의보다 훨씬 높은 복잡도인 Π²ₚ-완전이다.
• 논문은 모듈러 분해를 기반으로 한 재귀적 평가 알고리즘을 제공하지만, 본질적 복잡도로 인해 다항 시간 해법을 제공하지 못한다.
• 정적 및 순차 전략을 사용한 게임 이론적 평가 특성화를 확립하여, cograph를 초월한 고전적 위치 기반 게임 형태를 일반화한다.
• 심층 추론 기반의 증명 체계를 구성하고, BGL에 대해 타당성과 완전성을 증명하여 새로운 증명 이론적 기반을 제공한다.
• BGL는 Das와 Strassburger가 제시한 부울 논리의 선형 부분의 공리체계 불가능성에 대한 금기 법칙을 회피하며, 그래프 기반 환경에서 선형 공리체계의 가능성을 시사한다.