[논문 리뷰] Beyond Lorentzian Symmetry

Ross Grassie|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 20.

Advanced Differential Geometry Research인용 수 4

한 줄 요약

이 학위논문은 3차원 공간에서 운동학적 대칭, 초운동학적 대칭, 초-바르그만 대칭을 분류하기 위한 종합적인 프레임워크를 개발한다. 대수적이고 기하적 방법을 사용하여 불변 접속, 솔더링 형식, 비엘베인을 유도한다. $\mathcal{N}=1$ 리 초대수의 43개의 동형류, $(4|4)$차원의 동차 초공간 27개, $\mathcal{N}=1$ 초-바르그만 사례에서 9개의 동형류와 $\mathcal{N}=2$ 사례에서 22개의 지점이 밝혀지며, 이는 수축 절차를 통해 시공간들을 연결하는 기하학적 극한의 네트워크를 드러낸다.

ABSTRACT

This thesis presents a framework in which to explore kinematical symmetries beyond the standard Lorentzian case. This framework consists of an algebraic classification, a geometric classification, and a derivation of the geometric properties required to define physical theories on the classified spacetime geometries. The work completed in substantiating this framework for kinematical, super-kinematical, and super-Bargmann symmetries constitutes the body of this thesis. To this end, the classification of kinematical Lie algebras in spatial dimension $D = 3$, as presented in [3, 4], is reviewed; as is the classification of spatially-isotropic homogeneous spacetimes of [5]. The derivation of geometric properties such as the non-compactness of boosts, soldering forms and vielbeins, and the space of invariant affine connections is then presented. We move on to classify the $\mathcal{N}=1$ kinematical Lie superalgebras in three spatial dimensions, finding 43 isomorphism classes of Lie superalgebras. Once these algebras are determined, we classify the corresponding simply-connected homogeneous (4|4)-dimensional superspaces and show how the resulting 27 homogeneous superspaces may be related to one another via geometric limits. Finally, we turn our attention to generalised Bargmann superalgebras. In the present work, these will be the $\mathcal{N}=1$ and $\mathcal{N}=2$ super-extensions of the Bargmann and Newton-Hooke algebras, as well as the centrally-extended static kinematical Lie algebra, of which the former three all arise as deformations. Focussing solely on three spatial dimensions, we find $9$ isomorphism classes in the $\mathcal{N}=1$ case, and we identify $22$ branches of superalgebras in the $\mathcal{N}=2$ case.

연구 동기 및 목표

• 표준 로렌츠 대칭 사례 외의 운동학적 대칭을 통합적인 대수적이고 기하적 프레임워크로 체계적으로 분류하기 위해.
• 세 개의 공간 차원에서 $\mathcal{N}=1$ 및 $\mathcal{N}=2$ 운동학적 리 초대수를 체계적으로 분류하기 위해.
• 유도된 시공간 기하학에서 솔더링 형식, 비엘베인, 그리고 불변 아핀 접속과 같은 기하학적 구조를 도출하기 위해.
• 수축 절차를 통해 다양한 시공간들을 연결하는 기하학적 극한을 탐색하기 위해.
• 중앙 확장된 정적 및 변형된 초대수를 포함한 초-바르그만 대수로 분류를 확장하기 위해.

제안 방법

• 이전 연구자들인 피구에로아-오'파릴 등이 수행한 바탕으로, $D=3$에서 운동학적 리 대수의 대수적 분류를 활용한다.
• 기하학적 방법을 적용하여 동차 시공간에서 불변 접속, 솔더링 형식, 비엘베인을 도출한다.
• 리 군에서의 지수 좌표를 사용하여 시공간 기하학의 국소 모델을 구성한다.
• 식별된 리 초대수에서 유래한 단순연결된 동차 $(4|4)$차원 초공간을 분류한다.
• 평탄한, 비상대론적, 초상대론적 극한을 포함한 시공간 간의 기하학적 극한을 도출하기 위해 수축 절차를 적용한다.
• 정적 및 운동학적 대수의 변형과 중심 확장을 통해 일반화된 바르그만 초대수의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 공간에서 로렌츠 대칭을 초월한 운동학적 대칭은 어떻게 체계적으로 분류할 수 있는가?
• RQ2 $\mathcal{N}=1$ 및 $\mathcal{N}=2$ 리 초대수의 완전한 동형류는 3+1 차원에서 무엇이며, 물리적 시공간 기하학과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 평탄한, 비상대론적, 초상대론적 수축과 같은 기하학적 극한은 다양한 운동학적 시공간들을 어떻게 연결하는가?
• RQ4 솔더링 형식과 비엘베인과 같은 불변 기하학적 구조는 이러한 분류된 시공간에서 물리적 이론을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 중앙 확장 및 변형된 형태를 포함한 초-바르그만 대수는 운동학적 대칭의 광범위한 분류에 어떻게 통합되는가?

주요 결과

• 학위논문은 3차원 공간에서 $\mathcal{N}=1$ 운동학적 리 초대수의 43개의 동형류를 식별한다.
• 이 초대수에서 기인한 $(4|4)$차원의 동차 초공간 27개를 분류하며, 기하학적 극한을 통해 상호 관계를 설정한다.
• $\mathcal{N}=1$ 초-바르그만 대수 분류에서 9개의 동형류와 $\mathcal{N}=2$ 사례에서 22개의 고유 지점이 발견된다.
• 이 프레임워크는 분류된 시공간에서 물리적 이론을 위해 필요한 기하학적 성질—예를 들어 부트스트의 비콤팩트성과 불변 아핀 접속—을 성공적으로 도출한다.
• 수축 극한은 평탄한 극한($\text{dS} \to \mathbb{M}$, $\text{AdS} \to \mathbb{M}$, $S \to \mathbb{E}$, $H \to \mathbb{E}$)과 비상대론적 극한($\text{dS} \to \text{dSG}$, $\text{AdS} \to \text{AdSG}$)을 포함하여 시공간들 사이의 통합된 네트워크 관계를 드러낸다.
• $\mathcal{N}=1$ 초대수의 초상대론적 극한은 비효율적인 리 쌍을 유도하며, 정적 기하학과 관련된 아리스토텔레스 시공간에 해당한다.