[논문 리뷰] Beyond Pairwise Comparisons in Social Choice: A Setwise Kemeny Aggregation Problem

Hugo Gilbert, Tom Portoleau외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 14.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순위 집계를 위한 k-방식 일반화된 케멘이 규칙을 제안한다. 여기서 공통의 순위는 크기가 k 이하인 모든 후보자 부분집합에서 상위 선택지에 대한 불일치를 최소화한다. 이는 이론적 최악의 경우보다 훨씬 우수한 실용적 성능을 보이는 2-근사 알고리즘을 제안하며, 최대 18명의 후보자에 대해 효율적인 사전처리 및 정확한 계산을 가능하게 하는 k-방식 다수결 그래프를 개발한다.

ABSTRACT

In this paper, we advocate the use of setwise contests for aggregating a set of input rankings into an output ranking. We propose a generalization of the Kemeny rule where one minimizes the number of k-wise disagreements instead of pairwise disagreements (one counts 1 disagreement each time the top choice in a subset of alternatives of cardinality at most k differs between an input ranking and the output ranking). After an algorithmic study of this k-wise Kemeny aggregation problem, we introduce a k-wise counterpart of the majority graph. This graph reveals useful to divide the aggregation problem into several sub-problems, which enables to speed up the exact computation of a consensus ranking. By introducing a k-wise counterpart of the Spearman distance, we also provide a 2-approximation algorithm for the k-wise Kemeny aggregation problem. We conclude with numerical tests.

연구 동기 및 목표

• 이중 비교 기반 집계 규칙이 이중 비교를 초월한 집단의 선호도를 포착하는 데에 한계가 있음을 해결하기 위해.
• 후보자 부분집합에 대한 다수표 수를 기반으로 하는 집합 기반 대결을 바탕으로 한 새로운 사회복지 함수 클래스를 체계화하기 위해.
• 케멘이 규칙을 k-방식 불일치로 일반화하여, 이중 비교를 초월한 더 세밀한 공통 순위를 가능하게 하기 위해.
• k-방식 케멘이 공통 순위의 정확한 및 근사 계산을 위한 효율적인 알고리즘을 개발하기 위해.
• 제안된 2-근사 알고리즘의 실용적 성능과 k 및 선호도 상관관계에 따른 의존성 평가하기 위해.

제안 방법

• 크기가 k 이하인 부분집합 S에 대해 입력 순위와 출력 순위 간 상위 선택지가 다를 경우의 수를 k-방식 불일치 수로 정의한다.
• 크기가 ≤k인 부분집합에서 후보자 간 상대적 다수지지 수준을 나타내는 엣지를 갖는 k-방식 다수결 그래프의 변형을 도입한다.
• k-방식 다수결 그래프를 사전처리에 활용하여 정확한 k-방식 케멘이 점수를 계산하기 위한 동적 프로그래밍 방법을 개발한다.
• 스피어만 발자국 거리의 k-방식 변형을 최소화하는 데 기반한 2-근사 알고리즘을 제안한다.
• 이론적 최악의 근사 비율 2를 유도하기 위해 다이아코니스-그라함 부등식을 사용한다.
• 효율성을 위해 SciPy의 선형 합배정 알고리즘을 사용하여 합성 데이터(멀로우스 모델 기반)에서 알고리즘을 구현하고 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 비교를 초월한 집단의 선호도를 포착하기 위해 k-방식 일반화된 케멘이 규칙이 공통 순위를 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 k ≥3일 때 k-방식 케멘이 규칙에 따른 공통 순위 계산의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 k-방식 다수결 그래프는 어떻게 구성하고, 정확한 k-방식 케멘이 공통 순위 계산을 빠르게 하는 데 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ4 제안된 2-근사 알고리즘의 실용적 근사 비율은 얼마이며, k와 선호도 상관관계에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ5 실제 선호도 프로파일에서 예시로 제시된 바와 같이, k-방식 케멘이 규칙은 콘도르세 일致성과 다수표 지지 간의 갈등을 해결할 수 있는가?

주요 결과

• k ≥3일 때 k-방식 케멘이 집계 문제는 NP-난이도를 가지며, 기존 표준 케멘이 규칙의 난이도를 확장한다.
• 제안된 2-근사 알고리즘은 k-방식 스피어만 거리의 변형과 다이아코니스-그라함 부등식을 기반으로 최악의 경우 근사 비율 2를 보장한다.
• 실제로는 근사 비율이 항상 2보다 훨씬 우수하며, 50개의 테스트 인스턴스에서 관측된 최악의 비율은 1.04였다.
• 선호도 상관관계가 높을수록(멀로우스 모델에서 φ가 낮을수록) 및 k가 클수록 실용적 성능이 향상되며, 근사 비율의 박스 플롯을 통해 이를 확인할 수 있었다.
• 표준 라이브러리를 사용하여 50명의 투표자와 12명의 후보자에 대해 12ms 미만으로 실행되어 강력한 실용적 효율성을 보였다.
• k-방식 다수결 그래프를 통해 효과적인 사전처리가 가능해지고 검색 공간이 감소하여 최대 18명의 후보자에 대해 정확한 계산이 가능해졌다.