[논문 리뷰] Bezier curves based on Lupas (p, q)-analogue of Bernstein polynomials in CAGD.

Khalid Khan, D. K. Lobiyal|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 07.

Advanced Numerical Analysis Techniques참고 문헌 19인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 다중 형태 매개변수를 통해 향상된 형태 제어 기능을 제공하는 일반화된 유리 Bézier 곡선과 텐서 곱 표면을 구성하기 위해 Lupas형 $(p,q)$-Bernstein 기저 함수를 도입한다. $q$-Bézier 모델을 $(p,q)$-미적분을 사용해 확장함으로써, 곡선과 표면 설계의 더 큰 유연성을 가능하게 하며, 수렴 분석 결과 $p \ne 1$일 경우 선형 함수에 대해서만 균일 수렴이 발생하고, $p = q \to 1$일 경우 연속 함수로의 완전한 수렴이 이루어진다. 이 방법은 애핀 de Casteljau 알고리즘과 차수 상승/감소 연산을 지원한다.

ABSTRACT

In this paper, we use the blending functions of Lupas type (rational) $(p,q)$-Bernstein operators based on $(p,q)$-integers for construction of Lupas $(p,q)$-B$\acute{e}$zier curves (rational curves) and surfaces (rational surfaces) with shape parameters. We study the nature of degree elevation and degree reduction for Lupas $(p,q)$-B$\acute{e}$zier Bernstein functions. Parametric curves are represented using Lupas $(p,q)$-Bernstein basis. We introduce affine de Casteljau algorithm for Lupas type $(p,q)$-Bernstein B$\acute{e}$zier curves. The new curves have some properties similar to $q$-B$\acute{e}$zier curves. Moreover, we construct the corresponding tensor product surfaces over the rectangular domain $(u, v) \in [0, 1] imes [0, 1] $ depending on four parameters. We also study the de Casteljau algorithm and degree evaluation properties of the surfaces for these generalization over the rectangular domain. We get $q$-B$\acute{e}$zier surfaces for $(u, v) \in [0, 1] imes [0, 1] $ when we set the parameter $p_1=p_2=1.$ In comparison to $q$-B$\acute{e}$zier curves and surfaces based on Lupas $q$-Bernstein polynomials, our generalization gives us more flexibility in controlling the shapes of curves and surfaces. We also show that the $(p,q)$-analogue of Lupas Bernstein operator sequence $L^{n}_{p_n,q_n}(f,x)$ converges uniformly to $f(x)\in C[0,1]$ if and only if $0 0$ fixed and $p eq 1,$ the sequence $L^{n}_{p,q}(f,x)$ converges uniformly to $f(x)~ \in C[0,1]$ if and only if $f(x)=ax+b$ for some $a, b \in \mathbb{R}.$

연구 동기 및 목표

• $(p,q)$-Lupas Bernstein 연산자의 $q$-모의를 사용하여 일반화된 유리 Bézier 곡선과 표면의 가족을 개발하는 것.
• 추가 매개변수인 $p$와 $q$를 통합함으로써 기존의 $q$-Bézier 모델을 초월한 형태의 민감성 향상을 도모하는 것.
• 곡선과 표면 평가를 위한 애인 de Casteljau 알고리즘을 수립하는 것.
• 새로운 $(p,q)$-프레임워크에서의 차수 상승 및 감소 성질을 분석하는 것.
• $[0,1]$에서 $(p,q)$-Bernstein 연산자 수열의 균일 수렴성을 $C[0,1]$에서 분석하는 것.

제안 방법

• $(p,q)$-정수를 사용하여 Lupas형 유리 $(p,q)$-Bernstein 연산자의 기반 함수를 구성한다.
• 이 기저 함수를 통해 $(p,q)$-Bézier 곡선을 정의하고, 형태 제어를 위한 매개변수를 통합한다.
• 효율적이고 기하학적으로 직관적인 곡선 평가를 위한 애인 de Casteljau 알고리즘을 개발한다.
• 네 개의 매개변수를 사용하여 $[0,1] \times [0,1]$ 영역에서 텐서 곱 표면으로 프레임워크를 확장한다.
• 매개변수 변화에 따른 곡선과 표면의 거동을 분석하기 위해 차수 상승 및 감소 기법을 적용한다.
• 다양한 $p,q$ 조건 하에서 $[0,1]$에서 $L^{n}_{p_n,q_n}(f,x)$의 수렴 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형태 매개변수인 $p$와 $q$는 기존의 $q$-Bézier 모델에 비해 $(p,q)$-Bézier 곡선과 표면의 제어력과 민감성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 연속 함수에 대해 $(p,q)$-Bernstein 연산자 수열이 $[0,1]$에서 균일 수렴하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 애인 de Casteljau 알고리즘이 $(p,q)$-Bézier 곡선으로 일반화될 수 있는가? 그리고 기하학적 성질을 어떻게 유지하는가?
• RQ4 기존의 고전적 및 $q$-Bézier 사례와 비교했을 때 $(p,q)$-Bézier 프레임워크에서의 차수 상승 및 감소 연산은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 $p_1 = p_2 = 1$일 때 $(p,q)$-모의와 고전적 $q$-Bézier 모델 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $(p,q)$-Bézier 곡선과 표면은 추가 매개변수인 $p$와 $q$ 덕분에 $q$-Bézier 모델보다 더 큰 형태 유연성을 제공한다.
• $p = q \to 1$일 경우 모델은 고전적 $q$-Bézier 곡선과 표면으로 축소되며, 이는 이전 연구 결과와의 일관성을 확인한다.
• 수열 $L^{n}_{p_n,q_n}(f,x)$는 $f(x) \in C[0,1]$로 균일 수렴하기 위한 필요 및 충분 조건이 $p_n \to 1$ 및 $q_n \to 1$이면서 $0 < q_n < p_n \leq 1$를 만족할 때 성립하며, 이는 모든 연속 함수에 대해 수렴 보장한다.
• 고정된 $p \ne 1$에 대해 수열 $L^{n}_{p,q}(f,x)$는 $f(x)$가 선형일 때만 즉, $f(x) = ax + b$일 때 균일 수렴한다.
• $(p,q)$-Bézier 곡선에 대해 애인 de Casteljau 알고리즘이 성공적으로 구성되었으며, 안정적이고 기하학적으로 직관적인 평가를 가능하게 한다.
• 텐서 곱 표면은 $[0,1] \times [0,1]$에서 네 개의 독립된 매개변수를 사용하여 정의되며, $q$-Bézier 표면을 일반화하고, 차수 평가 및 기하 연산을 지원한다.